Dérivée (fonction)
Les fonctions dérivées permettent d'analyser la variation des fonctions. On suppose ici la notion de nombre dérivé connue.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction dérivée de f, notée f′, est la fonction qui a tout x de I associe le nombre dérivé de la fonction f, défini par :
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
pour tout x où cette limite existe.
On rappelle que le nombre dérivé f′(a) correspond à la pente de la tangente à la courbe y=f(x) au point d'abscisse a.
Dérivées des Fonctions Usuelles
Voici un tableau récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles, incluant l'ensemble de dérivabilité pour chaque fonction.
| Fonction f | Dérivée f′ | Ensemble de dérivabilité |
| f(x)=xn | f′(x)=nxn−1 | R |
| f(x)=x1 | f′(x)=−x21 | R∖{0} |
| f(x)=√x | f′(x)=2√x1 | R+∖{0} |
| f(x)=ln(x) | f′(x)=x1 | R+ |
| f(x)=ex | f′(x)=ex | R |
| f(x)=sin(x) | f′(x)=cos(x) | R |
| f(x)=cos(x) | f′(x)=−sin(x) | R |
| f(x)=tan(x) | f′(x)=cos2(x)1 | R∖{2π+kπ∣k∈Z} |
Propriétés de la Dérivée
Pour deux fonctions dérivables u et v sur un intervalle I, on a les propriétés suivantes :
| Opération | Dérivée | Conditions de dérivabilité |
| u(x)+v(x) | u′(x)+v′(x) | u et v dérivables |
| k⋅u(x) | k⋅u′(x) | k∈R, u dérivable |
| u(x)⋅v(x) | u′(x)v(x)+u(x)v′(x) | u et v dérivables |
| v(x)u(x) | v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x) | u et v dérivables, v(x)≠0 |
Exemples
Ces exemples montrent comment appliquer les règles de dérivation pour des fonctions combinées par addition, multiplication, ou division :
Exemple 1 : Somme de fonctions
Soit u(x)=x2 et v(x)=ex. On souhaite dériver f(x)=u(x)+v(x)=x2+ex.
f′(x)=u′(x)+v′(x)=2x+ex
Exemple 2 : Produit de fonctions
Soit u(x)=sin(x) et v(x)=ln(x). On souhaite dériver f(x)=u(x)⋅v(x)=sin(x)ln(x).
f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=cos(x)ln(x)+sin(x)⋅x1 =cos(x)ln(x)+xsin(x)
Exemple 3 : Quotient de fonctions
Soit u(x)=ex et v(x)=x2. On souhaite dériver f(x)=v(x)u(x)=x2ex.
f′(x)=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)=x4ex⋅x2−ex⋅2x =x4ex(x2−2x)=x3ex(x−2)
