Une démonstration est une suite d'affirmations logiques, basée sur des axiomes (postulats acceptés sans preuve), des définitions précises, et des théorèmes déjà établis, qui aboutit à une conclusion qui est l'énoncé à prouver. L'objectif est de montrer qu'un énoncé est vrai dans le cadre des règles et des lois des mathématiques.

Les démonstrations ne sont pas seulement des outils pour confirmer la véracité d'une affirmation, elles sont aussi cruciales dans le développement d'une théorie mathématique. Elles permettent d'établir des liens entre divers concepts et de construire systématiquement un cadre théorique solide où chaque nouvelle vérité repose sur des fondations déjà prouvées.

Le cœur de la démonstration est la déduction logique. Cela signifie que chaque conclusion tirée dans la démonstration doit découler nécessairement des prémisses et des règles de logique formelle. Cette approche garantit que la conclusion est vraie si les prémisses sont vraies.

Il existe plusieurs méthodes de démonstration, chacune adaptée à différents types de problèmes :

1. Démonstration directe :
   Part de vérités connues et avance par étapes logiques jusqu'à la conclusion. Elle utilise souvent les règles de l'algèbre et de la logique pour dériver directement la vérité de l'énoncé.

2. Démonstration par contraposition :
   Au lieu de prouver directement qu'un énoncé est vrai, cette méthode prouve que si la conclusion est fausse, alors les prémisses doivent également être fausses. Cela revient à prouver que (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$) pour établir $P \Rightarrow Q$.

3. Démonstration par l'absurde :
   Suppose que l'énoncé à prouver est faux, et montre que cette supposition mène à une contradiction avec des vérités établies, ce qui implique que l'énoncé doit être vrai.

4. Démonstration par récurrence :
   Utilisée pour prouver des énoncés ou des propriétés qui dépendent d'un entier naturel. Elle repose sur le principe de prouver un cas de base puis de montrer que si l'énoncé est vrai pour un entier $n$, alors il est vrai pour $n+1$.

Exemple de démonstration directe 

Pour illustrer une démonstration directe, considérons le théorème suivant : "La somme de deux nombres pairs est toujours un nombre pair."

Démonstration :

Supposons que $a$ et $b$ sont des nombres pairs. Par définition, cela signifie qu'il existe des entiers $m$ et $n$ tels que $a = 2m$ et $b = 2n$. La somme de $a$ et $b$ est $a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$. Puisque $m + n$ est un entier, $2(m + n)$ est pair, ce qui conclut la démonstration.