La décomposition d'un entier naturel en facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier plus grand que 1 comme le produit de nombres premiers.

Par exemple, prenons le nombre 72. Pour le décomposer en facteurs premiers, on procède comme suit :

• $72 \div 2 = 36$

• $36 \div 2 = 18$

• $18 \div 2 = 9$

• $9 \div 3 = 3$

• $3 \div 3 = 1$

Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que chaque nombre entier supérieur à 1 possède une décomposition en facteurs premiers qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs. Pour 72, cela est $2^3 \times 3^2$.

Applications

• Simplification des fractions :

  En décomposant le numérateur et le dénominateur d'une fraction en leurs facteurs premiers, on peut simplifier la fraction. Par exemple, pour simplifier $\frac{72}{108}$, nous décomposons les deux nombres :

  • $72 = 2^3 \times 3^2$

  • $108 = 2^2 \times 3^3$

  En éliminant les facteurs communs, la fraction se simplifie en $\frac{2}{3}$.

• Calcul du plus grand commun diviseur (PGCD) et du plus petit commun multiple (PPCM) :

  La décomposition en facteurs premiers permet de trouver rapidement le PGCD et le PPCM de deux nombres. Pour 72 et 108 :

  • PGCD : $\text{PGCD}(72, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$

  • PPCM : $\text{PPCM}(72, 108) = 2^3 \times 3^3 = 216$

• Cryptographie et résolution de problèmes en arithmétique :

  La difficulté de décomposer de très grands nombres en facteurs premiers est à la base de certains algorithmes cryptographiques, tels que RSA.