Une fonction définie sur un intervalle $I$ est dite convexe si pour tout point de son graphique, la courbe de la fonction se trouve au-dessus de sa tangente en ce point.

Si elle $f$ est dérivable ou deux fois dérivable sur l'intervalle I, on peut déterminer la convexité de $f$ en utilisant l'un des résultats suivants :

1. Utilisation de la dérivée première :

   La dérivée première d'une fonction, notée $f^{\prime}$, donne la pente de la tangente en tout point de la courbe. Une fonction est convexe sur un intervalle donné si $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur cet intervalle.

2. Utilisation de la dérivée seconde :

   La convexité d'une fonction peut également être déterminée par sa dérivée seconde, notée $f^{\prime \prime}$. Si $f^{\prime \prime}(x) > 0$ sur tout un intervalle, alors la fonction est convexe sur cet intervalle.

Exemple

Considérons la fonction définie par $f(x) = x^2$.

Calculons ses dérivées :

La première dérivée, $f^{\prime}$, est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$.
La dérivée seconde, $f^{\prime \prime}$, est positive pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Par conséquent, on a démontré (de deux manières différentes) que la fonction définie par $f(x) = x^2$ était convexe sur $\mathbb{R}$.