Une suite numérique $(u_n)$ est dite convergente si les termes de la suite se rapprochent de plus en plus d'une valeur fixe lorsque $n$ devient très grand. Cette valeur fixe est appelée limite de la suite.

Sur la figure ci-dessus, la suite $(u_n)$ converge vers 1 ; en effet, quelle que soit la valeur de $\varepsilon$, tous les termes $u_n$ seront compris dans l'intervalle $\left] 1 - \varepsilon~; 1+\varepsilon \right[$ à partir d'une certaine valeur de $n$.

Exemples

1. La suite $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers 0.

2. La suite $u_n = ( - 1)^n$ ne converge pas, car elle oscille entre -1 et 1.

3. La suite $u_n = 5n + 3$ ne converge pas. Elle tend vers $+\infty$.

Propriétés

• Unicité de la limite : Si une suite converge, sa limite est unique.

• Stabilité : Toute suite proche d'une suite convergente converge vers la même limite.

Divergence des suites

Une suite est divergente si elle ne converge pas vers une limite finie.

On peut distinguer deux types de divergence  :

• Vers l'infini : Une suite diverge vers $+\infty$ ou $- \infty$ si ses termes deviennent infiniment grands ou infiniment petits.

• Oscillation : Si une suite oscille sans approcher une valeur fixe, elle est considérée comme divergente.

Théorème de convergence monotone

Le théorème de convergence monotone est très utile pour montrer qu'une suite est convergente ; notez toutefois que ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

• Suites croissantes : Une suite croissante et majorée converge.

• Suites décroissantes : Une suite décroissante et minorée converge.