La contraposée d'une proposition est une méthode de raisonnement en logique qui permet de démontrer une implication en prouvant une autre implication qui lui est équivalente.

Si on a une implication de la forme $P \Rightarrow Q$ (si $P$ alors $Q$), sa contraposée est $non\ Q \Rightarrow non\ P$ (si non $Q$ alors non $P$). La contraposée est toujours logiquement équivalente à l'implication originale : elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

Exemple de démonstration utilisant la contraposée

Proposition : Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Cette proposition peut paraître intuitive, mais démontrer cela par contraposée offre un bel exemple de raisonnement logique.

Contraposée de la proposition : La contraposée de "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair".

Démonstration : Supposons que $n$ soit impair. Par définition, un nombre impair peut s'écrire sous la forme $n = 2k + 1$, où $k$ est un entier. Calculons $n^2$ :

Le terme $2k^2 + 2k$ est clairement un entier, donc $2(2k^2 + 2k)$ est pair, et en ajoutant 1, le résultat devient impair. Puisque $n^2$ est impair lorsque $n$ est impair, nous avons prouvé par la contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ doit être pair.

Cette méthode de démonstration est particulièrement utile lorsque l'assertion directe est difficile à prouver ou à réfuter, mais où il est plus simple de prouver ou de réfuter la contraposée.