Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$, définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, est dite continue si, intuitivement, on peut tracer sa courbe représentative sans lever le stylo du papier.

Plus formellement, cela signifie que de petits changements dans la valeur de $x$ entraînent de petits changements dans la valeur de $f(x)$, sans sauts brusques.

Exemples de fonctions continues

• Fonction linéaire: $f(x) = 2x + 1$. Cette fonction est continue sur tout $\mathbb{R}$ car c'est une fonction affine dans la représentation graphique est une droite.

• Fonction "carré": $f(x) = x^2$. Elle est également continue sur tout $\mathbb{R}$. Plus généralement, toutes les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.

• Fonction cosinus: $f(x) = \cos(x)$. Comme toutes les fonctions trigonométriques de base, elle est continue sur son ensemble de définition, ici $\mathbb{R}$.

Exemples de fonction discontinue

• La fonction partie entière, souvent notée $\lfloor x \rfloor$, est un exemple classique de fonction discontinue. Elle est définie de telle sorte que $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Cette fonction prend donc des valeurs entières pour tous les nombres réels $x$, et elle est définie sur tout $\mathbb{R}$ par :

  $\lfloor x \rfloor = n \quad \text{si} \quad n \leq x < n+1 \quad (n \in \mathbb{Z})$

  La fonction partie entière est discontinue à chaque point entier $x = n$. En ces points, la fonction saute de $n - 1$ à $n$, créant un "saut" ou une "discontinuité".

Les fonctions continues sont particulièrement utiles pour plusieurs raisons :

• Théorème des valeurs intermédiaires: Ce théorème stipule que si $f$ est une fonction continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ et si $d$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = d$. Cela est particulièrement utile pour montrer l'existence de solutions à des équations dans un intervalle donné.

• Analyse: En calcul, les fonctions continues ont des propriétés agréables qui facilitent la compréhension et la manipulation. Toutefois, bien que toute fonction dérivable soit continue, l'inverse n'est pas vrai. Une fonction peut être continue sans être dérivable partout sur son domaine. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, mais elle n'est pas dérivable à $x = 0$ à cause du changement brusque de direction.