Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + b\mathrm{i}$ est noté $\overline{z}$ et est défini par $\overline{z} = a - b\mathrm{i}$. Autrement dit, pour obtenir le conjugué d'un nombre complexe, on change simplement le signe de la partie imaginaire.

Exemples :

• Si $z = 3 + 4\mathrm{i}$, alors $\overline{z} = 3 - 4\mathrm{i}$.

• Si $z = - 1$, alors $\overline{z} = - 1$ ($z$ est réel et sa partie imaginaire est nulle).

• Si $z = 5\mathrm{i}$, alors $\overline{z} = - 5\mathrm{i}$.

Propriétés du conjugué d'un nombre complexe

1. Produit de $z$ et $\overline{z}$ : Le produit d'un nombre complexe par son conjugué donne un nombre réel positif ou nul, spécifiquement $z \overline{z} = a^2 + b^2$.
   Cela est souvent utilisé pour calculer le module d'un nombre complexe, car le module de $z$, noté $|z|$, est la racine carrée de $z \overline{z}$.

2. Somme et différence : La somme et la différence de $z$ et $\overline{z}$ sont également intéressantes :

   • $z + \overline{z} = 2a$ (c'est un nombre réel).

   • $z - \overline{z} = 2b\mathrm{i}$ (c'est un nombre imaginaire pur).

3. Propriétés opérationnelles :

   • $\overline{(z + w) } = \overline{z} + \overline{w}$

   • $\overline{(zw) } = \overline{z} \overline{w}$.

   • $\overline{\left(\frac{z}{w}\right) } = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$, si $w \neq 0$.

Interprétation géométrique :

Géométriquement, si l'on représente un nombre complexe $z = a + b\mathrm{i}$ comme un point ou un vecteur dans le plan complexe (où l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe vertical la partie imaginaire), le conjugué $\overline{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe des réels.