En mathématiques, une conjecture est une proposition ou une affirmation qui semble vraie sur la base d'observations ou d'intuitions, mais qui n'a pas encore été démontrée ou réfutée par un raisonnement mathématique rigoureux.

• Souvent, les conjectures naissent d'une tendance ou d'un motif observé dans des données numériques ou des cas particuliers. Par exemple, un mathématicien peut remarquer un motif en examinant les résultats de plusieurs exemples et formuler une conjecture généralisant ce motif.

• Une conjecture reste une affirmation non prouvée jusqu'à ce qu'une preuve définitive soit trouvée. Tant qu'une conjecture n'est ni prouvée ni réfutée, elle stimule la recherche et la discussion dans la communauté mathématique.

• Pour qu'une conjecture soit acceptée comme un théorème ou un fait mathématique, elle doit être rigoureusement prouvée. La recherche d'une preuve peut durer de quelques jours à plusieurs siècles.

Exemples célèbres de conjectures

• La conjecture de Goldbach (1742) : Cette célèbre conjecture affirme que chaque nombre pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers. Malgré de nombreux efforts et des vérifications informatiques pour de grands nombres, cette conjecture n'a toujours pas été prouvée ni réfutée.

• La conjecture des nombres premiers jumeaux : Elle postule qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers $(p, p+2)$, où $p$ et $p+2$ sont tous deux premiers. Comme pour la conjecture de Goldbach, cette conjecture a résisté à de nombreuses tentatives de preuve.

• La conjecture de Poincaré : Formulée par Henri Poincaré en 1904, cette conjecture concernant la topologie des variétés tridimensionnelles a été prouvée par Grigori Perelman en 2003, utilisant des techniques issues de la géométrie et de l'analyse. Pour cette réussite, Perelman a été honoré par la médaille Fields en 2006.