Soient deux événements, $A$ et $B$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est déjà produit ; elle est notée $P_B(A)$.

La formule pour calculer la probabilité conditionnelle est la suivante:

où :

• $P(A \cap B)$ est la probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux.

• $P(B)$ est la probabilité de l'événement $B$, qui doit être strictement supérieure à zéro pour que la formule soit applicable.

Il est important de distinguer $P_B(A)$ de $P(A \cap B)$.

$P(A \cap B)$ est la probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent en même temps, sans considération de l'un conditionnant l'autre.
Tandis que $P_B(A)$, la probabilité conditionnelle, évalue la probabilité de $A$ une fois que l'on sait que $B$ a eu lieu, ajustant ainsi notre compréhension de $A$ en fonction de la survenue de $B$.

Exemple

Considérons un jeu de cartes standard de 52 cartes :

- Soit $A$ l'événement " la carte tirée est un as ".
- Soit $B$ l'événement " la carte tirée est de couleur rouge ".

La probabilité que $B$ se produise, $P(B)$, est de $\frac{1}{2}$ et la probabilité que $A$ et $B$ se produisent ensemble, $P(A \cap B)$, correspond à la probabilité de tirer un as rouge et vaut donc $\frac{2}{52}$.

La probabilité conditionnelle de tirer un as sachant que la carte est rouge est calculée comme suit :

Dans cet exemple, on remarque que si l'on ne connaissait pas la couleur de la carte tirée, la probabilité de A aurait quand même été de :

On dit alors que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

La notion de probabilité conditionnelle $P_B(A)$ est importante car elle permet de prendre en compte des informations supplémentaires qui peuvent affecter (ou non) le déroulement des événements.