Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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composée (fonction)

La composition de deux fonctions combine les effets de deux fonctions en une seule.

Soient deux fonctions f:XYf : X \rightarrow Y et g:YZg : Y \rightarrow Z.

La composition des fonctions gg et ff, est la fonction notée gf:XZg \circ f : X \rightarrow Z, qui à chaque élément xXx \in X associe g(f(x))Zg(f(x)) \in Z (on applique d'abord f f puis g) g)  ; cela se note ainsi :

xf(x)g(f(x))ou(gf)(x)=g(f(x)) x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x)) \quad \text{ou} \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))

Cette séquence montre que :

Exemple 1

Prenons les fonctions f(x)=3xf(x) = 3xf:RRf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} et g(x)=x+1g(x) = x + 1g:RRg : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. La composition gfg \circ f peut être représentée ainsi :

x3x3x+1ou(gf)(x)=g(f(x))=g(3x)=3x+1 x \mapsto 3x \mapsto 3x + 1 \quad \text{ou} \quad (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x) = 3x + 1

Autrement dit, dans un premier temps on multiplie la variable par 3 puis dans un second temps on ajoute 1.

Exemple 2

Considérons les fonctions f(x)=x2f(x) = x^2f:RRf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, et g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3g:RRg : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. La composition gfg \circ f peut être représentée comme suit :

xx22(x2)+3ou(gf)(x)=g(f(x))=g(x2)=2x2+3 x \mapsto x^2 \mapsto 2(x^2) + 3 \quad \text{ou} \quad (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 2x^2 + 3

Ici, pour les deux exemples, xx est d'abord transformé par ff puis le résultat est transformé par gg.