composée (fonction)
La composition de deux fonctions combine les effets de deux fonctions en une seule.
Soient deux fonctions f:X→Y et g:Y→Z.
La composition des fonctions g et f, est la fonction notée g∘f:X→Z, qui à chaque élément x∈X associe g(f(x))∈Z (on applique d'abord f puis g) ; cela se note ainsi :
x↦f(x)↦g(f(x))ou(g∘f)(x)=g(f(x))
Cette séquence montre que :
On part de x dans l'ensemble X,
On applique d'abord la fonction f, donnant f(x) dans l'ensemble Y,
Ensuite, on applique la fonction g au résultat, donnant g(f(x)) dans l'ensemble Z.
Exemple 1
Prenons les fonctions f(x)=3x où f:R→R et g(x)=x+1 où g:R→R. La composition g∘f peut être représentée ainsi :
x↦3x↦3x+1ou(g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x)=3x+1
Autrement dit, dans un premier temps on multiplie la variable par 3 puis dans un second temps on ajoute 1.
Exemple 2
Considérons les fonctions f(x)=x2 où f:R→R, et g(x)=2x+3 où g:R→R. La composition g∘f peut être représentée comme suit :
x↦x2↦2(x2)+3ou(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x2)=2x2+3
Ici, pour les deux exemples, x est d'abord transformé par f puis le résultat est transformé par g.