La composition de deux fonctions combine les effets de deux fonctions en une seule.

Soient deux fonctions $f : X \rightarrow Y$ et $g : Y \rightarrow Z$.

La composition des fonctions $g$ et $f$, est la fonction notée $g \circ f : X \rightarrow Z$, qui à chaque élément $x \in X$ associe $g(f(x)) \in Z$ (on applique d'abord $f$ puis $g)$ ; cela se note ainsi :

Cette séquence montre que :

• On part de $x$ dans l'ensemble $X$,

• On applique d'abord la fonction $f$, donnant $f(x)$ dans l'ensemble $Y$,

• Ensuite, on applique la fonction $g$ au résultat, donnant $g(f(x))$ dans l'ensemble $Z$.

Exemple 1

Prenons les fonctions $f(x) = 3x$ où $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g(x) = x + 1$ où $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. La composition $g \circ f$ peut être représentée ainsi :

Autrement dit, dans un premier temps on multiplie la variable par 3 puis dans un second temps on ajoute 1.

Exemple 2

Considérons les fonctions $f(x) = x^2$ où $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, et $g(x) = 2x + 3$ où $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. La composition $g \circ f$ peut être représentée comme suit :

Ici, pour les deux exemples, $x$ est d'abord transformé par $f$ puis le résultat est transformé par $g$.