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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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complémentaire (ensemble)

Le complémentaire d'un ensemble AA, par rapport à un ensemble universel Ω\Omega (qui contient tous les éléments possibles de discussion), est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans Ω\Omega mais pas dans AA. On le note souvent AcA^c ou A\overline{A}.

Exemple

Imaginons que l'ensemble Ω\Omega soit tous les étudiants d'une école, et l'ensemble AA soit les étudiants qui jouent au football. Le complémentaire de AA, AcA^c, serait alors tous les étudiants de l'école qui ne jouent pas au football.

Si Ω\Omega est l'ensemble universel et AA un sous-ensemble de Ω\Omega, alors le complémentaire de AA est défini par:

Ac={xΩ  xA}A^c = \{x \in \Omega ~|~ x \notin A\}

Cela signifie que AcA^c contient tous les éléments xx qui sont dans Ω\Omega mais qui ne sont pas dans AA.

Voici un diagramme de Venn représentant le complémentaire de A dans un ensemble Ω\Omega :

 représentation du complémentaire d'un ensemble
Représentation du complémentaire d'un ensemble A A

En probabilité, le complémentaire d'un événement est souvent utilisé pour calculer la probabilité qu'un événement ne se produise pas (événement contraire) .

Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve demain est de 0.20.2 (20%), alors la probabilité qu'il ne pleuve pas demain est de 10.2=0.81 - 0.2 = 0.8 (80%). Cela est souvent plus simple que d'évaluer directement toutes les conditions possibles pour que l'événement ne soit pas réalisé.