Le complémentaire d'un ensemble $A$, par rapport à un ensemble universel $\Omega$ (qui contient tous les éléments possibles de discussion), est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans $\Omega$ mais pas dans $A$. On le note souvent $A^c$ ou $\overline{A}$.

Exemple

Imaginons que l'ensemble $\Omega$ soit tous les étudiants d'une école, et l'ensemble $A$ soit les étudiants qui jouent au football. Le complémentaire de $A$, $A^c$, serait alors tous les étudiants de l'école qui ne jouent pas au football.

Si $\Omega$ est l'ensemble universel et $A$ un sous-ensemble de $\Omega$, alors le complémentaire de $A$ est défini par:

Cela signifie que $A^c$ contient tous les éléments $x$ qui sont dans $\Omega$ mais qui ne sont pas dans $A$.

Voici un diagramme de Venn représentant le complémentaire de A dans un ensemble $\Omega$ :

En probabilité, le complémentaire d'un événement est souvent utilisé pour calculer la probabilité qu'un événement ne se produise pas (événement contraire) .

Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve demain est de $0.2$ (20%), alors la probabilité qu'il ne pleuve pas demain est de $1 - 0.2 = 0.8$ (80%). Cela est souvent plus simple que d'évaluer directement toutes les conditions possibles pour que l'événement ne soit pas réalisé.