Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits colinéaires si l'un peut être obtenu à partir de l'autre par multiplication par un scalaire non nul $k$. C'est-à-dire que $\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}$, où $k$ est un nombre réel.

Si $k$ est positif, les vecteurs ont la même direction; s'il est négatif, ils ont des directions opposées mais restent colinéaires.

Si $\overrightarrow{u} = (x_1, y_1)$ et $\overrightarrow{v} = (x_2, y_2)$, ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles c'est-à-dire si et seulement si :

Les principales applications de la notion de colinéarité de deux vecteurs sont les suivantes :

1. Vérifier l'alignement de trois points :

Pour trois points $A, B, C$ dans le plan, ces points $A, B,$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

2. Déterminer si deux droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de ces droites sont colinéaires.

Exemple :

Vérifier si les points $A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6)$ sont alignés.

Solution :

- Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB} : (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)$

- Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AC} : (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)$

- Vérifier la colinéarité : $\overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AB}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, par conséquent, les points $A, B$ et $C$ sont alignés.