La relation de Chasles stipule que pour tout triplet de points $A$, $B$, et $C$, alors le vecteur qui va de $A$ à $C$ peut être exprimé comme la somme du vecteur de $A$ à $B$ et du vecteur de $B$ à $C$. En termes de notation vectorielle, cela s'écrit :

Attention ! Cette égalité n'est pas une égalité entre des distances : la distance totale parcourue de $A$ directement à $C$ est généralement plus petite que la somme des deux distances parcourues $AB$ et $BC$ (sauf si les points $A$ $B$ et $C$ sont alignés et dans cet ordre).

La relation de Chasles est très utile pour simplifier les expressions en géométrie vectorielle. Elle permet de réduire la complexité des calculs en utilisant des décompositions. En physique, elle aide à calculer des déplacements ou des forces résultantes.

Exemple

Pour mieux comprendre, prenons un exemple concret :

Supposons que $A$, $B$, et $C$ sont trois points dans le plan, avec :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ - 1 \end{pmatrix}$.

Selon la relation de Chasles, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Donc, $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées :

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$.