Le produit cartésien de deux ensembles consiste à former des couples ordonnés en combinant chaque élément du premier ensemble avec chaque élément du second ensemble. Cela permet d'explorer toutes les combinaisons possibles de ces éléments.

Plus précisément :

Soient deux ensembles, $A$ et $B$, le produit cartésien de $A$ et $B$, noté $A \times B$, est l'ensemble de tous les couples où le premier élément du couple est pris de $A$ et le deuxième de $B$. Un couple est dit ordonné car l'ordre dans lequel les éléments apparaissent est crucial : le couple $(a, b)$ est différent du couple $(b, a)$, sauf si $a = b$.

Par exemple, si $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ et $B = \{b_1, b_2\}$, alors le produit cartésien $A \times B$ se compose des couples suivants :

Propriétés :

• Cardinal du produit cartésien :
  Le nombre de couples dans $A \times B$ est le produit du nombre d'éléments dans $A$ par le nombre d'éléments dans $B$.
  Ainsi, si $A$ a $m$ éléments et $B$ a $n$ éléments, $A \times B$ contiendra $m \times n$ couples.

• Non-commutativité :
  En général, $A \times B$ n'est pas équivalent à $B \times A$ à moins que les ensembles ne soient identiques ou vides.

• Applications :
  Le produit cartésien est utilisé pour définir des relations et des fonctions. Par exemple, une relation binaire entre $A$ et $B$ est un sous-ensemble de $A \times B$, et une fonction de $A$ à $B$ peut être vue comme un cas spécial de relation où chaque élément de $A$ est associé à un seul élément de $B$.