cartésien (produit)
Le produit cartésien de deux ensembles consiste à former des couples ordonnés en combinant chaque élément du premier ensemble avec chaque élément du second ensemble. Cela permet d'explorer toutes les combinaisons possibles de ces éléments.
Plus précisément :
Soient deux ensembles, et , le produit cartésien de et , noté , est l'ensemble de tous les couples où le premier élément du couple est pris de et le deuxième de . Un couple est dit ordonné car l'ordre dans lequel les éléments apparaissent est crucial : le couple est différent du couple , sauf si .
Par exemple, si et , alors le produit cartésien se compose des couples suivants :
Propriétés :
Cardinal du produit cartésien :
Le nombre de couples dans est le produit du nombre d'éléments dans par le nombre d'éléments dans .
Ainsi, si a éléments et a éléments, contiendra couples.Non-commutativité :
En général, n'est pas équivalent à à moins que les ensembles ne soient identiques ou vides.Applications :
Le produit cartésien est utilisé pour définir des relations et des fonctions. Par exemple, une relation binaire entre et est un sous-ensemble de , et une fonction de à peut être vue comme un cas spécial de relation où chaque élément de est associé à un seul élément de .