Une suite $(a_n)$ est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Cela signifie qu'il existe deux nombres réels, $m$ et $M$, tels que pour tout indice $n$ dans les entiers naturels, les termes de la suite $a_n$ satisfont l'inégalité :

où $m$ est un minorant et $M$ est un majorant de la suite.

Autrement dit, tous les termes de la suite se situent dans l'intervalle fermé $[m, M]$.

• Les termes d'une suite bornée ne dépassent jamais une certaine limite supérieure et ne descendent jamais en dessous d'une certaine limite inférieure. Ces limites encapsulent tous les termes de la suite.

• Une suite bornée ne diverge ni vers $+\infty$ ni vers $- \infty$. Cependant, cela ne signifie pas nécessairement que la suite converge vers une limite spécifique; elle peut osciller indéfiniment à l'intérieur de ses bornes.

• Comme mentionné, une suite bornée peut toujours osciller. Par exemple, la suite $a_n = ( - 1)^n$ est bornée entre $- 1$ et $1$ mais n'a pas de limite car elle oscille entre ces deux valeurs.

Exemples :

• Suite oscillante : Considérons la suite $(a_n)$ définie par $a_n = ( - 1)^n$. Elle est bornée car tous ses termes sont compris entre $- 1$ et $1$.

• Suite décroissante : Prenons la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \frac{1}{n+1}$. Cette suite est également bornée :

  Elle est majorée par 1, car la suite $(b_n)$ est décroissante et le premier terme $b_0 = \frac{1}{1+0} = 1$ .

  Elle est minorée par 0, car les termes sont positifs .