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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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binomiaux (coefficients)

Les coefficients binomiaux représentent le nombre de façons de choisir un ensemble d'éléments à partir d'un groupe plus grand.

Supposons que vous ayez un groupe de nn objets et que vous souhaitiez savoir de combien de manières différentes vous pouvez choisir kk objets parmi eux, sans tenir compte de l'ordre dans lequel vous les choisissez.

Le coefficient binomial, noté (nk)\binom{n}{k} et lu "k parmi n", vous donne exactement ce nombre.

Ce coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} est calculé en utilisant la formule suivante :

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}

où !! représente la factorielle d'un nombre, qui est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à ce nombre.

Le triangle de Pascal est une représentation utile pour voir les coefficients binomiaux. Chaque ligne correspond à une valeur de nn et chaque position dans cette ligne à un kk dans le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}. Voici les premières lignes du triangle :

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui, expliquant la formule:

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}