Une loi binomiale permet de modéliser une situation où nous comptons le nombre de succès sur un ensemble d'essais indépendants dans le cadre d'un schéma de Bernoulli.

Voici les trois conditions nécessaires pour qu'une distribution puisse être décrite par une loi binomiale :

1. Deux issues possibles : Chaque essai dans l'expérience doit avoir exactement deux résultats possibles, souvent appelés succès et échec.

2. Répétition d'un nombre fixe d'essais de manière identique et indépendante : L'expérience doit être répétée un nombre fixé de fois, chaque essai étant réalisé dans les mêmes conditions. De plus, chaque essai doit être indépendant des autres.

3. Comptage du nombre de succès : Une loi binomiale compte combien de fois un événement défini comme un succès se produit dans la série d'essais.

Le nombre de répétitions $n$ et la probabilité de succès à chaque essai $p$ sont appelés paramètres de la loi binomiale.

Sous ces conditions, si vous effectuez $n$ essais et que la probabilité de succès à chaque essai est $p$, la probabilité $P$ d'obtenir exactement $k$ succès est donnée par la formule de la loi binomiale :

où $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de succès, $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial indiquant le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ essais.

• Espérance mathématique : L'espérance mathématique d'une distribution binomiale, notée $E(X)$, représente la valeur moyenne attendue de $X$, le nombre de succès dans $n$ essais. Elle est donnée par :

  $E(X) = n \cdot p$

• Variance : La variance, notée $V(X)$, mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance. Elle est calculée par la formule :

  $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

  Cette formule indique que la variance est plus grande lorsque la probabilité de succès $p$ est proche de 0,5 et plus petite lorsque $p$ est proche de 0 ou 1.

  Cela reflète le fait que lorsque la probabilité d'un succès est extrême (très haute ou très basse), les résultats sont généralement plus prévisibles et moins dispersés.