La formule du binôme de Newton permet de développer l'expression $(a+b)^n$, où $a$ et $b$ sont des nombres ou des expressions algébriques, et $n$ est un entier positif. Cette formule est donnée par :

Cette formule s'interprète comme suit :

• $\sum_{k=0}^{n}$ : Ce symbole représente la somme de tous les termes qui suivent, où $k$ commence à 0 et se termine à $n$. Chaque terme de la somme correspond à une manière différente de distribuer les puissances entre $a$ et $b$.

• $\binom{n}{k}$ : Ce sont les coefficients binomiaux, qui indiquent le nombre de façons différentes de choisir $k$ occurrences de $b$ parmi les $n$ occurrences totales dans le produit développé de $(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$. Ils se calculent comme suit :

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

• $a^{n - k} b^k$ : Chaque terme du développement contient $a$ élevé à la puissance $n - k$ et $b$ élevé à la puissance $k$. Cela signifie que dans chaque terme, le total des puissances de $a$ et $b$ est $n$.

Pour illustrer comment utiliser cette formule, développons $(a+b)^3$ :

En calculant chaque terme, on trouve :

• Pour $k=0$ : $\binom{3}{0} a^3 b^0 = 1 \cdot a^3 = a^3$

• Pour $k=1$ : $\binom{3}{1} a^2 b^1 = 3 \cdot a^2 b = 3a^2b$

• Pour $k=2$ : $\binom{3}{2} a^1 b^2 = 3 \cdot ab^2 = 3ab^2$

• Pour $k=3$ : $\binom{3}{3} a^0 b^3 = 1 \cdot b^3 = b^3$

Ainsi, l'expression développée de $(a+b)^3$ est :