Le théorème de Bézout affirme que pour tous entiers $a$ et $b$ (non tous deux nuls), il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

où $\text{pgcd}(a, b)$ désigne le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.
Les nombres $u$ et $v$ sont appelés des coefficients de Bézout.

Cas particulier: $a$ et $b$ premiers entre eux

Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur pgcd est 1, alors il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

Ce cas est particulièrement important car il permet l'inversion modulo dans les calculs sur les congruences et a des applications significatives en cryptographie.

Exemple :

Supposons que $a = 17$ et $b = 12$.

Ces deux nombres sont premiers entre eux puisque leur seul diviseur commun est 1.

D'après le théorème de Bézout l'équation :

admet donc des solutions.

Une solution particulière est $u = - 7$ et $v = 10$ :

$17( - 7) + 12(10) = - 119 + 120 = 1$