En mathématiques, une opération est dite associative si le résultat de l'opération sur plusieurs éléments ne dépend pas de la manière dont les éléments sont regroupés par des parenthèses, à condition que l'ordre des éléments ne change pas.

Cela signifie que peu importe comment vous groupez les éléments lors de l'exécution de l'opération, le résultat final sera le même.

Définition formelle

Pour une opération $\star$ sur un ensemble $S$, l'opération est associative si pour tous les éléments $a$, $b$, et $c$ de $S$, l'égalité suivante est toujours vraie : $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$

Exemples d'opérations associatives :

1. Addition des nombres :

L'addition est une opération associative. Par exemple, pour n'importe quels nombres $a$, $b$, et $c$, vous avez :

Cela signifie que vous pouvez additionner $a$ et $b$ ensemble avant d'ajouter $c$, ou additionner $b$ et $c$ ensemble avant d'ajouter à $a$, et le résultat sera le même.

2. Multiplication des nombres :

La multiplication est également associative. Par exemple :

De la même manière que pour l'addition, l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées n'affecte pas le résultat final.

Exemple non associatif :

La soustraction n'est pas associative. Par exemple :

$(a - b) - c \neq a - (b - c)$

Si vous prenez $a = 5$, $b = 3$, et $c = 2$, alors :
$(5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0$
mais :
$5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4$

Cela montre que l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées peut affecter le résultat lorsque l'opération n'est pas associative.