L' argument d'un nombre complexe est l'angle entre l'axe des réels positifs et la droite qui relie l'origine au point représentant le nombre complexe dans le plan complexe. Cet angle est généralement mesuré en radians.

Pour un nombre complexe exprimé sous la forme $z = a + b\mathrm{i}$, où $a$ est la partie réelle et $b$ est la partie imaginaire ($\mathrm{i}$ représentant l'unité imaginaire), l'argument est l'angle $\theta$ pour lequel les relations suivantes sont vraies:

$\cos(\theta) = \frac{a}{r}$

$\sin(\theta) = \frac{b}{r}$

où $r$ est le module du nombre complexe, calculé comme $r = \sqrt{a^2 + b^2}$. Le module $r$ est la distance du point au centre du plan complexe, et $\theta$ l'argument de $z$.

Exemple:

Considérons le nombre complexe $z = - 1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$.

Pour cet exemple:

• La partie réelle $a = - 1$

• La partie imaginaire $b = \sqrt{3}$

• Le module $r = \sqrt{( - 1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$

• L'argument de $z$ serait défini par

  $\cos(\theta) = - \frac{1}{2}$

  $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$ radians.