En géométrie, des points sont dits alignés s'ils se trouvent sur une même droite.

Au lycée, on peut utiliser la notion de colinéarité de vecteurs pour démontrer que trois points sont alignés. La colinéarité est une propriété de deux vecteurs qui indique qu'un vecteur peut être obtenu en multipliant l'autre vecteur par un nombre réel.

On peut procéder de la façon suivante :

Soient trois points $A$, $B$, et $C$.

1. Formation de Vecteurs : Formez deux vecteurs à partir de ces trois points, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Expression des Vecteurs : Exprimez les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction de leurs coordonnées. Si $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, et $C(x_3; y_3)$, alors :

   $\overrightarrow{AB} ~ (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$

   $\overrightarrow{AC} ~ (x_3 - x_1; y_3 - y_1)$

3. Vérification de la Colinéarité : Pour montrer que les points $A$, $B$, et $C$ sont alignés, il faut démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela se fait en vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles.

4. Conclusion : Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, les points $A$, $B$, et $C$ sont alignés. Sinon, les points ne sont pas alignés.

Exemple :

Considérons trois points $A(1; 2)$, $B(3; 6)$, et $C(5; 10)$. Nous formons les vecteurs:

On voit que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce qui prouve que les points $A$, $B$, et $C$ sont alignés.