Le théorème d'Al-Kashi, parfois appelé la loi des cosinus, est une extension du théorème de Pythagore à tous les types de triangles, pas seulement les triangles rectangles.

Ce théorème est extrêmement utile pour des triangles qui ne sont pas forcément rectangles, en permettant de calculer soit la longueur d'un côté soit l'angle, en fonction des longueurs des côtés et de l'angle inclus.

Pour un triangle quelconque avec des côtés de longueurs $a$, $b$, et $c$, et où $\gamma$ est l'angle opposé au côté $c$, la loi des cosinus s'écrit comme suit :

Cette formule relie les longueurs des trois côtés d'un triangle à l'un de ses angles. Elle montre comment la longueur d'un côté dépend de la longueur des deux autres côtés et de l'angle qu'ils forment.

Remarque : Si $\gamma$ est un angle droit, alors $\cos(\gamma) = 0$ et l'équation devient $c^2 = a^2 + b^2$, ce qui est le théorème de Pythagore.

Par exemple, supposons que vous ayez un triangle avec des côtés de longueurs 7 mètres et 5 mètres, formant un angle de 45 degrés entre eux.

Pour trouver la longueur du troisième côté, vous pouvez utiliser le théorème d'Al-Kashi :

$AB^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos(45^\circ)$

En utilisant $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, l'équation devient :

$AB^2 = 49 + 25 - 70 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vous pouvez alors calculer $AB$ pour obtenir la longueur du troisième côté. Ici on trouve $AB \approx 4.95$ mètres en arrondissant au centième.