Le raisonnement par l'absurde est une technique de preuve en mathématiques très utilisée pour démontrer qu'une affirmation est vraie en montrant qu'assumer le contraire mène à une contradiction ou à une situation absurde.

Pour réaliser un raisonnement par l'absurde :

1. Supposition du contraire : Commencez par supposer que l'affirmation que vous voulez prouver est fausse.

2. Développement des conséquences : En partant de cette supposition, développez les conséquences logiques de cette supposition. Continuez à développer votre argumentation en vous basant sur des règles logiques et des propriétés déjà établies.

3. Trouver une contradiction : Cherchez à atteindre une contradiction ou une conclusion qui est manifestement fausse ou qui contredit une vérité déjà acceptée ou évidente.

4. Conclusion : Une fois que vous avez atteint une contradiction, vous pouvez conclure que votre supposition initiale (que l'affirmation était fausse) doit être incorrecte. Par conséquent, l'affirmation opposée (l'affirmation que vous vouliez prouver initialement) doit être vraie.

Par exemple, imaginons que vous vouliez prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel (c'est-à-dire qu'il ne peut pas être exprimé comme le quotient de deux entiers).

1. Supposition du contraire : Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel. Cela signifie qu'il existe deux entiers $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$ et $a$ et $b$ sans facteur commun autre que 1), tels que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$.

2. Développement des conséquences : En élevant au carré les deux côtés de l'équation, on obtient $2 = \frac{a^2}{b^2}$ ou $2b^2 = a^2$. Cela indique que $a^2$ est pair (car il est égal à $2b^2$), donc $a$ doit également être pair.

3. Trouver une contradiction : Si $a$ est pair, alors il existe un entier $k$ tel que $a = 2k$. En substituant dans l'équation $2b^2 = a^2$, on obtient $2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$, donc $b^2 = 2k^2$. Cela montre que $b^2$ est également pair, donc $b$ est pair. Cela contredit notre hypothèse initiale que $a$ et $b$ n'ont pas de facteur commun autre que 1.

4. Conclusion : Nous avons atteint une contradiction sous l'hypothèse que $\sqrt{2}$ est rationnel. Par conséquent, $\sqrt{2}$ doit être irrationnel.