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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Simplification d'expressions avec exponentielles de base q

[latex]q[/latex] désigne un réel strictement positif. Simplifier les expressions suivantes :
  1. [latex]A = \left(q^{x}-1\right)^{2}-q^{2x}[/latex]
  2. [latex]B = \left(\frac{q^{x}+q^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{q^{x}-q^{-x}}{2}\right)^{2}[/latex]
  3. [latex]C = \frac{q^{x}-1}{q^{x}+1} + \frac{q^{-x}-1}{q^{-x}+1}[/latex]

Corrigé

  1. On développe le carré grâce aux identités remarquables : [latex]A = q^{2x}-2q^{x}+1 -q^{2x}=-2q^{x}+1[/latex]
  2. On utilise, là aussi, les identités remarquables pour développer les carrés : [latex]B = \frac{q^{2x}+2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}-\frac{q^{2x}-2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}[/latex] [latex]B = \frac{q^{2x}+2+q^{-2x}}{4}-\frac{q^{2x}-2+q^{-2x}}{4} [/latex] (car [latex]q^{x}q^{-x}=q^{x-x}=q^{0}=1[/latex]) [latex]B = \frac{q^{2x}+2+q^{-2x}-q^{2x}+2-q^{-2x}}{4}[/latex] [latex]B = \frac{2+2}{4}=1[/latex]
  3. On réduit au même dénominateur : [latex]C = \frac{\left(q^{x}-1\right)\left(q^{-x}+1\right)}{\left(q^{x}+1\right)\left(q^{-x}+1\right)} + \frac{\left(q^{-x}-1\right)\left(q^{x}+1\right)}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}[/latex] [latex]C = \frac{q^{x}q^{-x}+q^{x}-q^{-x}-1+q^{x}q^{-x}+q^{x}-q^{-x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}[/latex] [latex]C = \frac{1+q^{x}-q^{-x}-1+1+q^{x}-q^{-x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)} [/latex] (car [latex]q^{x}q^{-x}=q^{x-x}=q^{0}=1[/latex]) [latex]C = \frac{1-1+1-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}=0[/latex]