Simplification d’expressions avec exponentielles de base q

On utilise les identités remarquables et la propriété $q^{a+b}=q^{a}q^{b}$.

1. On développe le carré grâce à l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ :

   $A = q^{2x}-2q^{x}+1 -q^{2x}=\mathbf{-2q^{x}+1}$

2. On développe chaque carré :

   $B = \dfrac{q^{2x}+2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}-\dfrac{q^{2x}-2q^{x}q^{-x}+q^{-2x}}{4}$

   Or $q^{x}q^{-x}=q^{0}=1$, donc :

   $B = \dfrac{q^{2x}+2+q^{-2x}-q^{2x}+2-q^{-2x}}{4} = \dfrac{4}{4}=\mathbf{1}$

3. On réduit au même dénominateur :

   $C = \dfrac{\left(q^{x}-1\right)\left(q^{-x}+1\right)}{\left(q^{x}+1\right)\left(q^{-x}+1\right)} + \dfrac{\left(q^{-x}-1\right)\left(q^{x}+1\right)}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}$

   $C = \dfrac{q^{x}q^{-x}+q^{x}-q^{-x}-1+q^{-x}q^{x}+q^{-x}-q^{x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}$

   En utilisant $q^{x}q^{-x}=q^{0}=1$ :

   $C = \dfrac{1+q^{x}-q^{-x}-1+1+q^{-x}-q^{x}-1}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}$

   Les termes se compensent deux à deux :

   $C = \dfrac{0}{\left(q^{-x}+1\right)\left(q^{x}+1\right)}=\mathbf{0}$