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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Loi normale - Bac S Liban 2014

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Les probabilités seront arrondies au dix millième. Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L'élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans [latex]99,4\%[/latex] des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans [latex]5\%[/latex] des cas. On choisit une date au hasard en période scolaire et on note [latex]V[/latex] l'évènement «L'élève se rend au lycée à vélo», [latex]B[/latex] l'évènement «l'élève se rend au lycée en bus» et [latex]R[/latex] l'évènement «L'élève arrive en retard au lycée».
  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement [latex]V \cap R[/latex].
  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement [latex]R[/latex] est [latex]0,0192[/latex]
  4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire [latex]T[/latex] qui suit le loi normale d'espérance [latex]\mu =17[/latex] et d'écart-type [latex]\sigma =1,2[/latex].
  1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
  2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
  3. L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de [latex]0,9[/latex] ? Arrondir le résultat à la minute près.

Partie C : le bus

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire [latex]T^{\prime}[/latex] qui suit la loi normale d'espérance [latex]\mu ^{\prime}=15[/latex] et d'écart-type [latex]\sigma ^{\prime}[/latex]. On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de [latex]0,05[/latex]. On note [latex]Z^{\prime}[/latex] la variable aléatoire égale à [latex]\frac{T^{\prime}-15}{\sigma ^{\prime}}[/latex]
  1. Quelle loi la variable aléatoire [latex]Z^{\prime}[/latex] suit-elle ?
  2. Déterminer une valeur approchée à [latex]0,01[/latex] près de l'écart-type [latex]\sigma ^{\prime}[/latex] de la variable aléatoire [latex]T^{\prime}[/latex].