Matrice de transition et Suites
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :
si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.
Première partie
On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».
Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne .
En donner une interprétation.
Deuxième partie
En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle ( entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année . On a donc .
On admet que pour tout entier naturel , .
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par .
Prouver que la suite est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Montrer que pour tout entier naturel , .
Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région