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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions Intégrales - Métropole Bac S 2015

Exercice 4 - 6 points

Commun à tous les candidats Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. bac-s-metropole-2015-4-1 Les quadrilatères [latex]OAD^{\prime} D,\ DD^{\prime}C^{\prime} C[/latex], et [latex]OAB^{\prime} B[/latex] sont des rectangles. Le plan de face [latex](OBD)[/latex] est muni d'un repère orthonormé [latex](O, I, J)[/latex]. L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, [latex]DD^{\prime} = 10[/latex], sa longueur [latex]OD[/latex] est de [latex]20[/latex] mètres. Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction [latex]f[/latex] définie sur l'intervalle [latex][0~;~20][/latex] par
[latex]f(x) = (x+1)\ln (x+1)-3x+7.[/latex]
On note [latex]f^{\prime}[/latex] la fonction dérivée de la fonction [latex]f[/latex] et [latex]\mathscr{C}[/latex] la courbe représentative de la fonction [latex]f[/latex] dans le repère [latex](O, I, J)[/latex]. bac-s-metropole-2015-4-2

Partie 1

  1. Montrer que pour tout réel [latex]x[/latex] appartenant à l'intervalle [latex][0~;~20][/latex], on a [latex]f^{\prime}(x) = \ln (x+1) -2[/latex].
  2. En déduire les variations de [latex]f[/latex] sur l'intervalle [latex][0 ; 20][/latex] et dresser son tableau de variation.
  3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe [latex]\mathscr{C}[/latex] au point d'abscisse [latex]0[/latex]. La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point [latex]B[/latex].
  4. On admet que la fonction [latex]g[/latex] définie sur l'intervalle [latex][0~;~20][/latex] par
    [latex]g(x) = \dfrac{1}{2}(x+1)^2 \ln (x+1)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x[/latex]
    a pour dérivée la fonction [latex]g^{\prime}[/latex] définie sur l'intervalle [latex][0~;~20][/latex] par [latex]g^{\prime}(x) = (x+1)\ln (x+1)[/latex]. Déterminer une primitive de la fonction [latex]f[/latex] sur l'intervalle [latex][0~;~20][/latex].

Partie 2

Les trois questions de cette partie sont indépendantes
  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    • [latex]P_1[/latex] : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • [latex]P_2[/latex] : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en [latex]B[/latex] qu'en [latex]C[/latex].
  2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de [latex]5 m^2[/latex] par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
  3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère [latex](O, I, J)[/latex] du plan de face, les points [latex]B_k(k~;~f(k))[/latex] pour [latex]k[/latex] variant de 0 à 20. Ainsi, [latex]B_0 = B[/latex]. On décide d'approcher l'arc de la courbe [latex]\mathscr{C}[/latex] allant de [latex]B_k[/latex] à [latex]B_{k+1}[/latex] par le segment [latex]\left[B_kB_{k+1}\right][/latex]. Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type [latex]B_k B_{k+1} B^{\prime}_{k+1}B^{\prime}_k[/latex] (voir figure). bac-s-metropole-2015-4-3
    1. Montrer que pour tout entier [latex]k[/latex] variant de 0 à 19, [latex]B_kB_{k+1} = \sqrt{1+\left (f(k+1)-f(k)\right )^2}[/latex].
    2. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
      [table class=noborder]Variables |[latex]S[/latex] : réel |[latex]K[/latex] : entier Fonction |[latex]f[/latex] : définie par [latex]f(x) = (x+1)\ln(x+1)-3x+7[/latex] Traitement |[latex]S[/latex] prend pour valeur [latex]0[/latex] |Pour [latex]K[/latex] variant de ...... à ...... |     [latex]S[/latex] prend pour valeur ...... |Fin Pour Sortie |Afficher ...... [/table]

Corrigé

Partie 1

  1. [latex]f[/latex] est dérivable sur [latex][0~;~20][/latex] comme somme, produit et composée de fonctions dérivables. Pour dériver [latex](x+1)\ln(x+1)[/latex] on utilise la formule : [latex](uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}[/latex] avec : [latex]u(x)=x+1[/latex] ; [latex]u^{\prime}(x)=1[/latex] [latex]v(x)=\ln(x+1)[/latex] ; [latex]v^{\prime}(x)=\frac{1}{x+1}[/latex] On obtient : [latex]f^{\prime}(x)=\ln(x+1)+(x+1)\times \frac{1}{x+1}-3[/latex] [latex]f^{\prime}(x)=\ln(x+1)-2[/latex]
  2. [latex]f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow \ln(x+1)-2 > 0[/latex] [latex]\phantom{f^{\prime}(x) > 0} \Leftrightarrow \ln(x+1) > 2[/latex] [latex]\phantom{f^{\prime}(x) > 0} \Leftrightarrow x+1 > e^{2}[/latex] (par croissance de la fonction exponentielle) [latex]\phantom{f^{\prime}(x) > 0} \Leftrightarrow x > e^{2}-1[/latex] On montre de même que : [latex]f^{\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x < e^{2}-1[/latex] [latex]f[/latex] est donc strictement croissante sur [latex][e^2-1~;~20][/latex] et strictement décroissante sur [latex][0~;~e^2-1][/latex] Par ailleurs: [latex]f(0) = 7[/latex] , [latex]f(e^2-1)=10-e^2\approx 2,61[/latex] et [latex]f(20)=-53+21\ln(21)\approx 10,93[/latex]. On obtient le tableau de variation suivant : fonctions-integrales-metropole-bac-s-2015-1
  3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe [latex]\mathscr{C}[/latex] au point d’abscisse [latex]0[/latex] est [latex]f^{\prime}(0)=-2[/latex]. L’inclinaison du module de skateboard au point [latex]B[/latex] est donc [latex]2[/latex].
  4. D'après l'énoncé, une primitive sur [latex][0~;~20][/latex] de la fonction [latex]x\mapsto (x+1)\ln(x+1)[/latex] est [latex]g[/latex]. Une primitive de la fonction [latex]x\mapsto -3x+7[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex] est : [latex]x\mapsto -\frac{3}{2}x^2+7x[/latex] . Par conséquent, une primitive de [latex]f[/latex] sur [latex][0~;~20][/latex] est la fonction [latex]F[/latex] définie par [latex]F(x)= \frac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1)-\frac{1}{4}x^2[/latex][latex]-\frac{1}{2}x-\frac{3x^2}{2}+7x[/latex] [latex]\phantom{F(x)}= \frac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1)-\frac{7x^2}{4}+\frac{13}{2}x[/latex]

Partie 2

    • Proposition [latex]P_1[/latex] : VRAIE La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est d'environ [latex]10,93-2,61=8,32[/latex] mètres.
    • Proposition [latex]P_2[/latex] : VRAIE L'inclinaison de la piste en [latex]B[/latex] est [latex]2[/latex] (question I.3.). L'inclinaison de la piste en [latex]C[/latex] est [latex]f ^{\prime}(20)=\ln(21)-2\approx 1,04[/latex]. L'inclinaison de la piste est donc presque deux fois plus grande en [latex]B[/latex] qu'en [latex]C[/latex].
  2. La face gauche est un rectangle d'aire : [latex]\mathcal{A}_1=10\times f(0)=70\text{m}^2[/latex]. La face droite est un rectangle d'aire : [latex]\mathcal{A}_2=10\times f(20)\approx 109,3\text{m}^2[/latex]. Les aires des faces avant et arrière correspondent à l’aire du domaine délimité par la courbe [latex]\mathscr C[/latex] l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations [latex]x = 0[/latex] et [latex]x = 20[/latex]. Chacune de ces aires vaut : [latex]\mathcal{A}_3=\int_0^{20}f(x)\text{ d}x=F(20)-F(0)[/latex] [latex]\phantom{\mathcal{A}_3}=\frac{21^2\ln 21}{2}-700+130[/latex] [latex]\phantom{\mathcal{A}_3}\approx 101,32\text{m}^2[/latex] L'aire latérale totale est donc : [latex]\mathcal{A}=\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+2\mathcal{A}_3[/latex] [latex]\mathcal{A} \approx 381,94\text{m}^2[/latex] Le nombre de litres de peinture nécessaire est donc le plus petit entier supérieur à [latex]\frac{381,94}{5}[/latex] soit [latex]77[/latex] litres.
  3. Les coordonnées des points [latex]B_k[/latex] et [latex]B_{k+1}[/latex] sont [latex]B_k \left(k~;~f(k)\right)[/latex] et [latex]B_{k+1} (k+1~;~f(k+1))[/latex]. Pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre [latex]0[/latex] et [latex]19[/latex], la distance [latex]B_{k}B_{k+1}[/latex] vaut donc : [latex]B_{k}B_{k+1}=\sqrt{1 + \left(f(k + 1)-f(k)\right)^2}[/latex]
  4. L'aire de chacun des rectangles [latex]B_k B_{k+1} B^{\prime}_{k+1}B^{\prime}_k[/latex] est donc égale à [latex]10\sqrt{1 + \left(f(k + 1)-f(k)\right)^2}[/latex]. L’algorithme complet est alors :
    [table class=noborder]Variables |[latex]S[/latex] : réel |[latex]K[/latex] : entier Fonction |[latex]f[/latex] : définie par [latex]f(x) = (x+1)\ln(x+1)-3x+7[/latex] Traitement |[latex]S[/latex] prend pour valeur [latex]0[/latex] |Pour [latex]K[/latex] variant de[latex]\color{red}{0}[/latex] à [latex]\color{red} {19}[/latex] |     [latex]S[/latex] prend pour valeur [latex]\color{red} {S+10\sqrt{1 + \left(f(K + 1)-f(K)\right)^2}}[/latex] |Fin Pour Sortie |Afficher [latex]\color{red} {S}[/latex] [/table]