[Bac] Famille de fonctions avec exponentielle

Extrait d’un exercice du Bac S Antilles Guyane 2013.
Le sujet complet (qui nécessite l’étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Antilles Guyane 2013

Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels \mathbb{R} telle que :
f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{x}.

1. Calculer la limite de f en + \infty et en -\infty .
2. On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
   Démontrer que pour tout réel x, f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x}.
3. Dresser le tableau de variation de f sur \mathbb{R}.

Partie B

On définit la fonction g_{m} sur \mathbb{R} par
g_{m}\left(x\right)=x+1-me^{- x}
et on note \mathscr C_{m} la courbe de la fonction g_{m} dans un repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) du plan.

1. 1. Démontrer que g_{m}\left(x\right)=0 si et seulement si f\left(x\right)=m.
   2. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe \mathscr C_{m} avec l’axe des abscisses en fonction du réel m.
   3. On a représenté ci-dessous les courbes \mathscr C_{0}, \mathscr C_{e} et \mathscr C_{- e} (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0, e et -e).
      
      Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.
   4. Étudier la position de la courbe \mathscr C_{m} par rapport à la droite \mathscr D d’équation y=x+1 suivant les valeurs du réel m.

   Corrigé

   Solution rédigée par Paki