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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[Bac] Famille de fonctions avec exponentielle

Extrait d'un exercice du Bac S Antilles Guyane 2013. Le sujet complet (qui nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Antilles Guyane 2013 Dans tout ce qui suit, [latex]m[/latex] désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit [latex]f[/latex] la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels [latex]\mathbb{R}[/latex] telle que : [latex] f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{x}.[/latex]
  1. Calculer la limite de [latex]f[/latex] en [latex]+ \infty [/latex] et en [latex]-\infty [/latex].
  2. On note [latex]f^{\prime}[/latex] la fonction dérivée de la fonction [latex]f[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex]. Démontrer que pour tout réel [latex]x, f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x}[/latex].
  3. Dresser le tableau de variation de [latex]f[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex].

Partie B

On définit la fonction [latex]g_{m}[/latex] sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]g_{m}\left(x\right)=x+1-me^{- x}[/latex] et on note [latex]\mathscr C_{m}[/latex] la courbe de la fonction [latex]g_{m}[/latex] dans un repère [latex]\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)[/latex] du plan.
    1. Démontrer que [latex]g_{m}\left(x\right)=0[/latex] si et seulement si [latex]f\left(x\right)=m[/latex].
    2. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe [latex]\mathscr C_{m}[/latex] avec l'axe des abscisses en fonction du réel [latex]m[/latex].
    3. On a représenté ci-dessous les courbes [latex]\mathscr C_{0}[/latex], [latex]\mathscr C_{e}[/latex] et [latex]\mathscr C_{- e}[/latex] (obtenues en prenant respectivement pour [latex]m[/latex] les valeurs [latex]0, e[/latex] et [latex]-e[/latex]). Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.
    4. Étudier la position de la courbe [latex]\mathscr C_{m}[/latex] par rapport à la droite [latex]\mathscr D[/latex] d'équation [latex]y=x+1[/latex] suivant les valeurs du réel [latex]m[/latex].

    Corrigé

    Solution rédigée par Paki [pdf-embedder url="/assets/imgsvg/slides/famille-fonctions-exponentielle/famille-fonctions-exponentielle.pdf" width="676"]