Interpréter le coefficient de corrélation linéaire
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Le coefficient de corrélation linéaire $ r $ d'une série statistique à deux variables est compris entre $ -1 $ et $ 1 $. Il mesure la qualité de l'alignement du nuage de points.
- Plus $ |r| $ est proche de $ 1 $, plus l'ajustement affine est pertinent.
- Si $ r > 0 $, le nuage est croissant ; si $ r < 0 $, le nuage est décroissant.
- Si $ |r| $ est proche de $ 0 $, l'ajustement affine n'est pas pertinent.
Pour interpréter $ r $ :
- Étape 1 : saisir les données dans la calculatrice ou un tableur en mode statistique deux variables.
- Étape 2 : lire la valeur de $ r $ (ou parfois $ r^{2} $ : prendre alors la racine carrée et lui attribuer le signe de la pente $ a $).
- Étape 3 : comparer $ |r| $ à $ 1 $ et conclure : très bon ajustement ($ |r|>0{,}95 $), bon ajustement ($ 0{,}85<|r|\leqslant 0{,}95 $), ajustement médiocre ($ |r|\leqslant 0{,}85 $).
- Étape 4 : analyser le signe de $ r $ pour préciser le sens de la liaison entre $ x $ et $ y $.
Remarque
Sur les calculatrices, certains modèles affichent uniquement $ r^{2} $ (coefficient de détermination). Pour retrouver $ r $ : prendre $ \sqrt{r^{2}} $ et lui attribuer le signe de la pente $ a $ de la droite des moindres carrés. Sur tableur, la fonction $ \texttt{COEFFICIENT.CORRELATION} $ donne directement $ r $.
Très bon ajustement affine
On reprend la série taille / masse de cinq enfants : $ (110;19) $, $ (120;23) $, $ (130;28) $, $ (140;34) $, $ (150;40) $. La calculatrice donne $ r\approx 0{,}997 $. Conclure sur la pertinence d'un ajustement affine.
Étape 1 : les données sont saisies dans deux listes.
Étape 2 : la valeur lue est $ r\approx 0{,}997 $.
Étape 3 : on a $ |r|\approx 0{,}997 > 0{,}95 $, donc l'ajustement affine est très pertinent.
Étape 4 : $ r > 0 $ : la masse $ y $ croît avec la taille $ x $. La droite des moindres carrés constitue un bon modèle pour estimer la masse à partir de la taille.
Ajustement médiocre
Une étude relie le nombre de séances de cinéma $ x $ par mois et la note moyenne $ y $ obtenue à un test de culture générale, sur un échantillon de $ 8 $ personnes. La calculatrice donne $ r\approx -0{,}21 $. Que conclure ?
Étape 1 : les données sont saisies.
Étape 2 : $ r\approx -0{,}21 $.
Étape 3 : $ |r|\approx 0{,}21 $ est proche de $ 0 $ : l'ajustement affine n'est pas pertinent. Tracer une droite des moindres carrés sur ce nuage n'aurait pas de valeur prédictive.
Étape 4 : le signe négatif suggérerait une liaison faiblement décroissante, mais elle n'est pas significative compte tenu du nuage très dispersé.
Lecture indirecte via $ r^{2} $
Un tableur affiche, sur le graphique d'un nuage, l'équation $ y=1{,}82\,x-3{,}5 $ et la mention $ R^{2}=0{,}9412 $. Calculer le coefficient de corrélation et le commenter.
Étape 1 : on lit $ r^{2}=0{,}9412 $.
Étape 2 : on en déduit $ |r|=\sqrt{0{,}9412}\approx 0{,}970 $. La pente $ a=1{,}82 $ étant positive, on a :
Étape 3 : $ |r|\approx 0{,}97 > 0{,}95 $ : ajustement affine très pertinent.
Étape 4 : $ r > 0 $ : la liaison est croissante. Le modèle $ y=1{,}82\,x-3{,}5 $ peut être utilisé pour estimer $ y $ à partir de $ x $ dans la plage des données observées.
Remarque
Une corrélation forte entre deux variables n'implique pas une relation de cause à effet. Par exemple, le nombre de coups de soleil et le nombre de glaces vendues peuvent être très corrélés sans qu'aucun ne soit la cause de l'autre : ils dépendent tous les deux d'un troisième facteur (la chaleur). Distinguer corrélation et causalité fait partie de la lecture critique des résultats.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre $ r $ et $ r^{2} $ : $ r^{2} $ est toujours positif, $ r $ peut être négatif.
- Annoncer un « bon » ajustement avec $ |r|=0{,}7 $ : c'est en réalité un ajustement médiocre en Tle Maths complémentaires.
- Conclure à une cause à effet à partir d'une corrélation forte : interdit sans démonstration supplémentaire.
- Oublier le signe de $ r $ quand on le déduit de $ r^{2} $ : il dépend du signe de la pente $ a $.