Déterminer l’équation de la droite des moindres carrés
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Soit un nuage de $ n $ points associés à une série $ (x_{i};y_{i}) $. La droite des moindres carrés (régression de $ y $ en $ x $) a pour équation $ y=ax+b $, où $ a $ et $ b $ sont obtenus par la calculatrice ou un tableur.
Pour déterminer cette équation :
- Étape 1 : entrer les valeurs $ x_{i} $ et $ y_{i} $ dans deux listes en mode statistique deux variables.
- Étape 2 : lancer le calcul de régression linéaire (« LinReg » sur TI, « X $ \to $ Y » sur Casio, « DROITEREG » sur tableur).
- Étape 3 : lire les coefficients $ a $ (pente) et $ b $ (ordonnée à l'origine), arrondir si nécessaire et écrire l'équation $ y=ax+b $.
- Étape 4 : vérifier que la droite passe par le point moyen $ G(\bar{x}\,;\bar{y}) $ en remplaçant $ x $ par $ \bar{x} $ : on doit retrouver $ \bar{y} $.
Remarque
Cette droite est aussi appelée droite de régression de $ y $ en $ x $. Elle est unique et minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite. La calculatrice et le tableur fournissent directement les coefficients $ a $ et $ b $ : il n'y a pas à mémoriser leur formule.
Détermination à la calculatrice
On dispose de la série suivante reliant l'âge $ x $ (en années) d'un véhicule et son prix $ y $ (en milliers d'euros) :
| $ x_{i} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ |
| $ y_{i} $ | $ 18 $ | $ 15 $ | $ 13 $ | $ 11 $ | $ 9 $ | $ 7 $ |
Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés.
Étape 1 : saisir les six valeurs de $ x $ dans la liste $ L_{1} $ et celles de $ y $ dans la liste $ L_{2} $.
Étape 2 : lancer la régression linéaire ( $ ax+b $ ).
Étape 3 : la calculatrice affiche $ a\approx -2{,}14 $ et $ b\approx 19{,}67 $. L'équation est donc :
Étape 4 : le point moyen est $ G(3{,}5\,;\,12{,}17) $. Avec l'équation :
L'écart avec $ \bar{y}=12{,}17 $ est inférieur à $ 0{,}02 $ : il provient des arrondis sur $ a $ et $ b $. La cohérence est donc bonne.
Utilisation d'un tableur
Sur un tableur, on saisit les abscisses dans la colonne A et les ordonnées dans la colonne B. La fonction utilisée est :
Validée en matrice (Ctrl+Maj+Entrée), elle renvoie deux cellules : la pente $ a $ à gauche et l'ordonnée à l'origine $ b $ à droite.
Avec la série de l'exemple précédent, on obtient $ a\approx -2{,}143 $ et $ b\approx 19{,}667 $. L'équation arrondie au centième est encore $ y=-2{,}14\,x+19{,}67 $.
Le tableur permet en plus d'afficher la droite directement sur le nuage : insérer un graphique « Nuage de points », clic droit sur le nuage, Ajouter une courbe de tendance, choisir Linéaire et cocher Afficher l'équation.
Estimation à partir de l'équation
Avec la droite $ y=-2{,}14\,x+19{,}67 $ obtenue ci-dessus, estimer le prix d'un véhicule âgé de $ 4{,}5 $ ans.
Étape 1 : on remplace $ x $ par $ 4{,}5 $ dans l'équation :
Étape 2 : calcul :
Étape 3 : le modèle prédit un prix d'environ $ 10{,}04 $ milliers d'euros, soit environ $ 10\,040 $ €.
Attention
Pièges fréquents :
- Inverser $ x $ et $ y $ à la saisie : la régression de $ y $ en $ x $ et celle de $ x $ en $ y $ ne donnent pas la même droite.
- Oublier de signaler les arrondis : préciser le nombre de décimales conservées sur $ a $ et $ b $.
- Confondre $ a $ (pente) et $ b $ (ordonnée à l'origine).
- Conclure sur la pertinence de l'ajustement sans avoir consulté le coefficient de corrélation $ r $ : voir la fiche méthode dédiée.