Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Terminale

moyenExercice corrigé

[Bac] Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013

Une entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée est égale à p=0,05.
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    Calculer l'espérance mathématique \mu et l'écart type \sigma de la variable aléatoire X.
  2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire \frac{X-\mu }{\sigma } par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1.
    On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
    Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x.

    x -1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31
    P\left(Z < x\right) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379
    x 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55
    P\left(Z < x\right) 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939

    Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10^{-2} près de la probabilité de l'évènement : "le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15".

Corrigé

  1. Pour un salarié donné, l'évènement S : "Le salarié est malade" correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité p\left(S\right)=0,05
    Si l'on s'intéresse à l'état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
    La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n=220 et p=0,05.
    L'espérance mathématique de X est :
    \mu =np=220\times 0,05=11
    Son écart-type est :
    \sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23 à 10^{-2} près
  2. La probabilité cherchée est p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right). Or :
    p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)=p\left(\frac{7-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{X-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{11-\mu }{\sigma }\right)\approx p\left(-1,24\leqslant Z\leqslant 1,24\right)
    p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx p\left(Z\leqslant 1,24\right)-p\left(Z\leqslant -1,24\right)\approx 0,892-0,108
    p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx 0,78 à 10^{-2} près.
  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Lois normales

Exercices

  • facileLoi normale - Calcul de probabilités à la calculatrice
  • facile[Bac] Probabilités - Loi normale
  • moyenLoi normale - Calcul de probabilités
  • moyen[Bac] Probabilités - Loi normale

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok