Exercice corrigéExtrait d’un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013
Une entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée est égale à p=0,05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
- Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématique \mu et l’écart type \sigma de la variable aléatoire X. - On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire \frac{X-\mu }{\sigma } par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l’évènement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x.x -1,55 -1,24 -0,93 – 0,62 – 0,31 P\left(Z < x\right) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 x 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P\left(Z < x\right) 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l’approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10^{-2} près de la probabilité de l’évènement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
Corrigé
- Pour un salarié donné, l’évènement S : « Le salarié est malade » correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité p\left(S\right)=0,05
Si l’on s’intéresse à l’état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n=220 et p=0,05.
L’espérance mathématique de X est :
\mu =np=220\times 0,05=11
Son écart-type est :
\sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23 à 10^{-2} près - La probabilité cherchée est p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right). Or :
p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)=p\left(\frac{7-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{X-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{11-\mu }{\sigma }\right)\approx p\left(-1,24\leqslant Z\leqslant 1,24\right)
p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx p\left(Z\leqslant 1,24\right)-p\left(Z\leqslant -1,24\right)\approx 0,892-0,108
p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx 0,78 à 10^{-2} près.
