[Bac] Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013
Une entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée est égale à [latex]p=0,05[/latex].
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par [latex]X[/latex] la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
- Justifier que la variable aléatoire [latex]X[/latex] suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique [latex]\mu [/latex] et l'écart type [latex]\sigma [/latex] de la variable aléatoire [latex]X[/latex].
- On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire [latex]\frac{X-\mu }{\sigma }[/latex] par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres [latex]0[/latex] et [latex]1[/latex].
On note [latex]Z[/latex] une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement [latex]Z < x[/latex] pour quelques valeurs du nombre réel [latex]x[/latex].
| [latex]x[/latex] | -1,55 | -1,24 | -0,93 | - 0,62 | - 0,31
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| [latex]P\left(Z < x\right)[/latex] | 0,061 | 0,108 | 0,177 | 0,268 | 0,379
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| [latex]x[/latex] | 0,00 | 0,31 | 0,62 | 0,93 | 1,24 | 1,55
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| [latex]P\left(Z < x\right)[/latex] | 0,500 | 0,621 | 0,732 | 0,823 | 0,892 | 0,939
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Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à [latex]10^{-2}[/latex] près de la probabilité de l'évènement : "le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15".
- Pour un salarié donné, l'évènement [latex]S[/latex] : "Le salarié est malade" correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité [latex]p\left(S\right)=0,05[/latex]
Si l'on s'intéresse à l'état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
La variable aléatoire [latex]X[/latex] suit donc une loi binomiale de paramètres [latex]n=220[/latex] et [latex]p=0,05[/latex].
L'espérance mathématique de [latex]X[/latex] est :
[latex]\mu =np=220\times 0,05=11[/latex]
Son écart-type est :
[latex]\sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23[/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près
- La probabilité cherchée est [latex]p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)[/latex]. Or :
[latex]p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)=p\left(\frac{7-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{X-\mu }{\sigma }\leqslant \frac{11-\mu }{\sigma }\right)\approx p\left(-1,24\leqslant Z\leqslant 1,24\right) [/latex]
[latex]p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx p\left(Z\leqslant 1,24\right)-p\left(Z\leqslant -1,24\right)\approx 0,892-0,108[/latex]
[latex]p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx 0,78[/latex] à [latex]10^{-2}[/latex] près.
