Déterminer la mesure principale d’un angle
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Toutes les mesures d'un angle orienté s'écrivent sous la forme $ x+2k\pi $ avec $ k\in\mathbb{Z} $. La mesure principale est l'unique mesure appartenant à l'intervalle $ \left]-\pi\,;\pi\right] $.
- Étape 1 : mettre la mesure donnée sous la forme $ \dfrac{a\pi}{b} $ (une seule fraction).
- Étape 2 : ajouter ou retrancher $ 2\pi=\dfrac{2b\pi}{b} $ autant de fois que nécessaire pour que la fraction obtenue appartienne à $ \left]-\pi\,;\pi\right] $, c'est-à-dire que le numérateur soit compris entre $ -b $ (exclu) et $ b $ (inclus).
- Étape 3 : conclure en donnant la mesure principale.
Angle positif de grande mesure
Déterminer la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure est $ \dfrac{17\pi}{4} $.
Étape 1 : la mesure est déjà écrite sous la forme $ \dfrac{a\pi}{b} $ avec $ a=17 $ et $ b=4 $. On cherche à obtenir un numérateur dans l'intervalle $ \left]-4\,;4\right] $.
Étape 2 : on retranche $ 2\pi=\dfrac{8\pi}{4} $ jusqu'à entrer dans l'intervalle :
$ 9 $ n'est pas encore dans $ \left]-4\,;4\right] $, on retranche une seconde fois :
Étape 3 : $ \dfrac{\pi}{4}\in\left]-\pi\,;\pi\right] $, donc la mesure principale est $\mathbf{\dfrac{\pi}{4}}$.
Angle négatif de grande mesure
Déterminer la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure est $ -\dfrac{19\pi}{6} $.
Étape 1 : la mesure est de la forme $ \dfrac{a\pi}{b} $ avec $ a=-19 $ et $ b=6 $. On vise un numérateur dans $ \left]-6\,;6\right] $.
Étape 2 : la mesure est négative et trop petite, on ajoute $ 2\pi=\dfrac{12\pi}{6} $ :
$ -7 $ n'est pas dans $ \left]-6\,;6\right] $, on ajoute une seconde fois :
Étape 3 : $ \dfrac{5\pi}{6}\in\left]-\pi\,;\pi\right] $, donc la mesure principale est $\mathbf{\dfrac{5\pi}{6}}$.
Remarque
Pour aller plus vite avec une calculatrice, on peut effectuer la division $ \dfrac{a}{2b} $ : la partie entière (au sens large) donne directement le nombre de tours complets à retrancher. Par exemple pour $ \dfrac{17\pi}{4} $ : $ \dfrac{17}{8}\approx 2{,}12 $, on retranche $ 2 $ tours, soit $ 4\pi=\dfrac{16\pi}{4} $, ce qui donne directement $ \dfrac{\pi}{4} $.
Attention
L'intervalle $ \left]-\pi\,;\pi\right] $ est semi-ouvert : la borne $ -\pi $ est exclue, la borne $ \pi $ est incluse. Si le calcul aboutit à $ -\pi $, il faut lui ajouter $ 2\pi $ pour obtenir la mesure principale $ \pi $.
Autre erreur classique : ajouter ou retrancher $ \pi $ au lieu de $ 2\pi $. Seul l'ajout d'un multiple de $ 2\pi $ (un tour complet) donne une mesure du même angle.