Calculer cos(x) connaissant sin(x) (ou l’inverse)
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L'identité fondamentale de la trigonométrie relie cosinus et sinus : pour tout réel $ x $,
Elle permet, connaissant $ \sin(x) $, de calculer $ \cos(x) $ (et inversement). Le signe du résultat est déterminé à partir du cadran dans lequel se trouve le point image de $ x $.
- Étape 1 : isoler le terme cherché dans l'identité fondamentale : $ \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x) $ (ou $ \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x) $).
- Étape 2 : remplacer par la valeur connue et calculer.
- Étape 3 : extraire la racine carrée — la valeur cherchée est $ \pm\sqrt{\cdots} $.
- Étape 4 : trancher entre $ + $ et $ - $ grâce à l'intervalle donné pour $ x $ (cadran du cercle trigonométrique).
Angle dans le cadran haut-droit
Soit $ x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ $ tel que $ \sin(x)=\dfrac{1}{3} $. Calculer $ \cos(x) $.
Étape 1 : on isole $ \cos^{2}(x) $ dans l'identité fondamentale :
Étape 2 : on remplace $ \sin(x) $ par $ \dfrac{1}{3} $ :
Étape 3 : on extrait la racine carrée :
Étape 4 : $ x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ $ : le point image est dans le cadran haut-droit, donc $ \cos(x)>0 $. On garde le signe $ + $ :
Angle dans le cadran haut-gauche
Soit $ x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[ $ tel que $ \cos(x)=-\dfrac{3}{5} $. Calculer $ \sin(x) $.
Étape 1 : on isole $ \sin^{2}(x) $ :
Étape 2 : on remplace $ \cos(x) $ par $ -\dfrac{3}{5} $ :
Étape 3 : on extrait la racine carrée :
Étape 4 : $ x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[ $ : le point image est dans le cadran haut-gauche, donc $ \sin(x)>0 $. On garde le signe $ + $ :
Remarque
Le signe de $ \cos(x) $ et $ \sin(x) $ selon l'intervalle dans lequel se trouve $ x $ se retient très facilement sur le cercle trigonométrique :
| Intervalle | Cadran | $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
| $\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ | haut-droit | $+$ | $+$ |
| $\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$ | haut-gauche | $-$ | $+$ |
| $\left]-\pi\,;-\dfrac{\pi}{2}\right[$ | bas-gauche | $-$ | $-$ |
| $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[$ | bas-droit | $+$ | $-$ |
Attention
Ne jamais oublier l'étape de discussion du signe : extraire une racine carrée donne deux solutions possibles ($ + $ et $ - $). Sans l'information sur l'intervalle d'appartenance de $ x $, il est impossible de trancher.
Autre erreur classique : écrire $ \cos(x)=1-\sin^{2}(x) $ au lieu de $ \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x) $. C'est bien le carré du cosinus qui intervient dans l'identité fondamentale — ne pas oublier la racine carrée finale.