Placer le point image d’un réel sur le cercle trigonométrique
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Le point image d'un réel $ x $ sur le cercle trigonométrique est le point $ M $ tel que $ x $ soit une mesure en radians de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right) $, où $ I(1\,;0) $.
- Étape 1 : si $ x\notin\left]-\pi\,;\pi\right] $, déterminer la mesure principale en retranchant ou ajoutant des multiples de $ 2\pi $.
- Étape 2 : repérer le cadran dans lequel se trouve l'angle selon son signe et sa valeur :
- $ 0<x<\dfrac{\pi}{2} $ : cadran haut-droit ;
- $ \dfrac{\pi}{2}<x<\pi $ : cadran haut-gauche ;
- $ -\pi<x<-\dfrac{\pi}{2} $ : cadran bas-gauche ;
- $ -\dfrac{\pi}{2}<x<0 $ : cadran bas-droit.
- Étape 3 : placer $ M $ en partant du point $ I $ et en parcourant un arc de longueur $ \left|x\right| $ dans le sens direct (si $ x>0 $) ou indirect (si $ x<0 $).
- Étape 4 : lire $ \cos(x) $ (abscisse de $ M $) et $ \sin(x) $ (ordonnée de $ M $).
Image d'un réel positif
Placer sur le cercle trigonométrique le point image du réel $ \dfrac{5\pi}{4} $, puis donner $ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) $ et $ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) $.
Étape 1 : $ \dfrac{5\pi}{4}>\pi $, on cherche la mesure principale :
Étape 2 : on décompose $ -\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4} $ : l'angle se situe dans le cadran bas-gauche.
Étape 3 : on place $ M $ à mi-chemin (en angle) entre l'axe des abscisses négatif et l'axe des ordonnées négatif.
Étape 4 : le point $ M $ a pour coordonnées $ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $. On lit :
Image d'un réel négatif
Placer sur le cercle trigonométrique le point image du réel $ -\dfrac{2\pi}{3} $.
Étape 1 : $ -\dfrac{2\pi}{3}\in\left]-\pi\,;\pi\right] $, cette mesure est déjà la mesure principale.
Étape 2 : on écrit $ -\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6} $ : l'angle est dans le cadran bas-gauche, un peu en dessous de l'axe des abscisses négatif.
Étape 3 : on tourne dans le sens indirect (horaire) depuis $ I $ d'une valeur $ \dfrac{2\pi}{3} $ (soit un tiers d'un demi-tour de plus qu'un quart de tour).
Étape 4 : on lit les coordonnées de $ M $ :
Remarque
Le signe du cosinus et du sinus se retrouve rapidement à partir du cadran dans lequel se trouve le point image :
| Cadran | $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
| haut-droit | $+$ | $+$ |
| haut-gauche | $-$ | $+$ |
| bas-gauche | $-$ | $-$ |
| bas-droit | $+$ | $-$ |
Attention
Ne pas confondre degrés et radians : sur le cercle trigonométrique, toutes les mesures d'angle sont en radians. Écrire « placer $ 45 $ » sans préciser l'unité est ambigu — il faudrait écrire « placer $ 45° $ », soit $ \dfrac{\pi}{4} $ radians.
Autre erreur fréquente : tourner dans le mauvais sens. Le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre ; il correspond à un angle positif. Un angle négatif se parcourt dans le sens horaire.