Calculer cosinus et sinus à l’aide des angles associés
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Les formules des angles associés permettent de calculer $ \cos(x) $ et $ \sin(x) $ pour des angles qui ne figurent pas directement dans le tableau des valeurs remarquables, en les ramenant à un angle « connu » $ a\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right] $.
Pour tout réel $ x $ :
$ \cos(\pi-x)=-\cos(x)\quad;\quad \sin(\pi-x)=\sin(x) $
$ \cos(\pi+x)=-\cos(x)\quad;\quad \sin(\pi+x)=-\sin(x) $
- Étape 1 : écrire l'angle sous la forme $ -a $, $ \pi-a $ ou $ \pi+a $, où $ a $ est une valeur remarquable ($ \dfrac{\pi}{6} $, $ \dfrac{\pi}{4} $, $ \dfrac{\pi}{3} $, $ \dfrac{\pi}{2} $, $ 0 $, $ \pi $).
- Étape 2 : appliquer la formule correspondante.
- Étape 3 : remplacer $ \cos(a) $ et $ \sin(a) $ par leurs valeurs remarquables.
Angle de la forme π − a
Calculer $ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) $ et $ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) $.
Étape 1 : on cherche à écrire $ \dfrac{5\pi}{6} $ à partir d'une valeur remarquable. On remarque que :
Étape 2 : on applique les formules avec $ a=\dfrac{\pi}{6} $ :
$ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $
Étape 3 : on remplace par les valeurs remarquables $ \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} $ :
Angle négatif
Calculer $ \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) $ et $ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) $.
Étape 1 : $ -\dfrac{\pi}{3} $ est de la forme $ -a $ avec $ a=\dfrac{\pi}{3} $ (valeur remarquable).
Étape 2 : on applique les formules :
$ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $
Étape 3 : on remplace par $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ :
Remarque
Il est souvent plus rapide de raisonner sur le cercle trigonométrique que de mémoriser toutes les formules. En visualisant le point image, on retrouve le signe du cosinus (abscisse) et du sinus (ordonnée) selon le cadran, puis on compare la valeur absolue à celle d'un angle remarquable du cadran haut-droit.
Par exemple, $ \dfrac{5\pi}{6} $ est dans le cadran haut-gauche : le cosinus est négatif (abscisse $ <0 $), le sinus est positif (ordonnée $ >0 $). La valeur absolue est la même que pour $ \dfrac{\pi}{6} $ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
Attention
Bien distinguer $ \pi-x $ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) et $ \pi+x $ (symétrie par rapport à l'origine) : les signes obtenus sont différents. Une erreur courante est d'écrire $ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $ en oubliant le signe $ - $.
Autre piège : la fonction cosinus est paire ($ \cos(-x)=\cos(x) $) et la fonction sinus est impaire ($ \sin(-x)=-\sin(x) $). Inverser ces deux propriétés conduit à des erreurs de signe systématiques.