Convertir un angle entre degrés et radians
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Les mesures en degrés et en radians d'un même angle sont proportionnelles. Elles vérifient la relation :
- Étape 1 : repérer l'unité de départ (degrés ou radians).
- Étape 2 : appliquer la formule adaptée :
- de degrés vers radians : $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{\alpha_{\text{deg}}\times\pi}{180} $ ;
- de radians vers degrés : $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\alpha_{\text{rad}}\times 180}{\pi} $.
- Étape 3 : simplifier la fraction obtenue.
Des degrés vers les radians
Convertir $ 150° $ en radians.
Étape 1 : l'unité de départ est le degré, on utilise $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{\alpha_{\text{deg}}\times\pi}{180} $.
Étape 2 : on remplace $ \alpha_{\text{deg}} $ par $ 150 $ :
Étape 3 : on simplifie la fraction $ \dfrac{150}{180} $ en divisant numérateur et dénominateur par $ 30 $ :
Ainsi, $ 150° $ correspond à $\mathbf{\dfrac{5\pi}{6}}$ radians.
Des radians vers les degrés
Convertir $ \dfrac{7\pi}{4} $ radians en degrés.
Étape 1 : l'unité de départ est le radian, on utilise $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\alpha_{\text{rad}}\times 180}{\pi} $.
Étape 2 : on remplace $ \alpha_{\text{rad}} $ par $ \dfrac{7\pi}{4} $ :
Étape 3 : on simplifie par $ \pi $ puis on effectue la division :
Ainsi, $ \dfrac{7\pi}{4} $ radians correspond à $\mathbf{315°}$.
Remarque
Il est utile de mémoriser les conversions les plus courantes, qui reviennent très souvent :
| Degrés | $0$ | $30$ | $45$ | $60$ | $90$ | $180$ | $360$ |
| Radians | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $2\pi$ |
Ces valeurs permettent de retrouver presque toutes les autres par combinaison (ex : $ 150°=180°-30°=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6} $).
Attention
Une erreur fréquente est d'oublier le facteur $ \pi $ lors de la conversion et d'écrire par exemple « $ 60°=\dfrac{1}{3} $ radian » au lieu de « $ 60°=\dfrac{\pi}{3} $ radian ». Le $ \pi $ fait partie intégrante de la mesure en radians, il ne doit jamais disparaître.
Autre piège : ne pas confondre les deux formules. Pour retrouver la bonne, on peut se rappeler qu'un demi-tour vaut $ 180° $ et aussi $ \pi $ radians : la formule doit donner $ 180° $ quand on y injecte $ \pi $ (et inversement).