Résoudre une équation cos(x) = k ou sin(x) = k
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Méthode
Pour résoudre une équation du type $ \cos(x)=k $ ou $ \sin(x)=k $ avec $ k\in\left[-1\,;1\right] $, on se ramène à une équation du type $ \cos(x)=\cos(a) $ ou $ \sin(x)=\sin(a) $ avec $ a $ une valeur remarquable, puis on applique :
$ \sin(x)=\sin(a)\iff x=a+2k\pi\;\text{ou}\;x=\pi-a+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z} $
- Étape 1 : trouver un réel $ a $ tel que $ \cos(a)=k $ (ou $ \sin(a)=k $), à l'aide du tableau des valeurs remarquables.
- Étape 2 : réécrire l'équation sous la forme $ \cos(x)=\cos(a) $ (ou $ \sin(x)=\sin(a) $).
- Étape 3 : appliquer la formule de résolution pour obtenir les solutions dans $ \mathbb{R} $.
- Étape 4 : si l'énoncé restreint les solutions à un intervalle, faire varier $ k $ dans $ \mathbb{Z} $ et ne garder que les solutions qui appartiennent à l'intervalle demandé.
Résolution dans ℝ
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
Étape 1 : on cherche $ a $ tel que $ \cos(a)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $. D'après les valeurs remarquables, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $. On utilise la formule $ \cos(\pi-a)=-\cos(a) $ :
On prend donc $ a=\dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 2 : l'équation devient $ \cos(x)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) $.
Étape 3 : on applique la formule :
L'ensemble des solutions est :
Résolution sur un intervalle
Résoudre sur $ \left[0\,;2\pi\right] $ l'équation $ \sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
Étape 1 : d'après les valeurs remarquables, $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $. On prend $ a=\dfrac{\pi}{3} $.
Étape 2 : l'équation devient $ \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $.
Étape 3 : on applique la formule avec $ a=\dfrac{\pi}{3} $ :
Étape 4 : on cherche les solutions dans $ \left[0\,;2\pi\right] $ en faisant varier $ k $ :
- pour la 1re famille, avec $ k=0 $ : $ x=\dfrac{\pi}{3}\in\left[0\,;2\pi\right] $ (solution retenue) ; avec $ k=1 $ : $ x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}\notin\left[0\,;2\pi\right] $ ;
- pour la 2e famille, avec $ k=0 $ : $ x=\dfrac{2\pi}{3}\in\left[0\,;2\pi\right] $ (solution retenue) ; avec $ k=1 $ : $ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{8\pi}{3}\notin\left[0\,;2\pi\right] $.
L'ensemble des solutions sur $ \left[0\,;2\pi\right] $ est :
Remarque
Pour visualiser une équation trigonométrique, tracer le cercle trigonométrique et chercher les points du cercle dont l'abscisse (pour $ \cos(x)=k $) ou l'ordonnée (pour $ \sin(x)=k $) vaut $ k $. Il y a en général deux points, qui correspondent aux deux familles de solutions.
Cas particuliers utiles :
- $ \cos(x)=1\iff x=2k\pi $ (un seul point sur le cercle : $ I $) ;
- $ \cos(x)=-1\iff x=\pi+2k\pi $ ;
- $ \sin(x)=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi $ ;
- $ \sin(x)=-1\iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi $.
Attention
Attention à ne pas oublier la deuxième famille de solutions. Beaucoup d'élèves écrivent seulement $ x=a+2k\pi $ et oublient $ x=-a+2k\pi $ (pour le cosinus) ou $ x=\pi-a+2k\pi $ (pour le sinus). Chaque équation trigonométrique a presque toujours deux familles de solutions.
Autre piège : ne pas confondre les formules du cosinus et du sinus. Pour s'en souvenir, on peut penser au cercle trigonométrique : les deux points d'ordonnée $ k $ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (d'où $ \pi-a $ pour le sinus), tandis que les deux points d'abscisse $ k $ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses (d'où $ -a $ pour le cosinus).