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Trigonométrie Exercices

[ROC] Démonstration des valeurs remarquables en trigonométrie

Durée estimée
35 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

L'objectif de cet exercice est de démontrer, par le calcul, les valeurs remarquables du sinus et du cosinus figurant dans le tableau du cours :

$ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

Prérequis :

  1. Pour tout réel $ x $ : $ \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 $.
  2. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $ O $ et de rayon $ 1 $ dans un repère orthonormé $ \left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right) $.
  3. Si $ M $ est le point du cercle trigonométrique image du réel $ x $, alors $ \cos(x) $ est l'abscisse de $ M $ et $ \sin(x) $ est son ordonnée.

Partie A — Calcul de $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

Soit $ M $ le point du cercle trigonométrique image du réel $ \dfrac{\pi}{4} $ et $ H $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses.

Point M image de pi/4 sur le cercle trigonométrique et son projeté H
  1. Justifier que le triangle $ OHM $ est rectangle isocèle en $ H $.
  2. En déduire que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $.
  3. En utilisant le prérequis 1., démontrer que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $.

Partie B — Calcul de $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $

Soit $ M $ le point du cercle trigonométrique image du réel $ \dfrac{\pi}{3} $ et $ I $ le point de coordonnées $ (1\,;0) $. On note $ H $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses.

Triangle équilatéral OIM et son projeté H sur l'axe des abscisses
  1. Justifier que $ OM=OI=1 $, puis que l'angle $ \widehat{MOI} $ mesure $ \dfrac{\pi}{3} $ radians (soit $ 60° $).
  2. En déduire que le triangle $ OIM $ est équilatéral.
  3. Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est également la médiane relative au côté opposé. Utiliser cette propriété pour la hauteur $ (MH) $ afin de déterminer $ OH $.
  4. Conclure que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $.

Partie C — Calcul de $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $

  1. En utilisant le prérequis 1. et le résultat de la partie B, démontrer que $ \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3}{4} $.
  2. Justifier que $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0 $.
  3. Conclure que $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.

Corrigé

Partie A

  1. Par définition, $ M $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) $ et $ H $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;0\right) $.

    Comme $ \dfrac{\pi}{4} $ est la moitié de $ \dfrac{\pi}{2} $, le point $ M $ se trouve sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{IOJ} $ où $ I(1\,;0) $ et $ J(0\,;1) $. La droite $ (OM) $ a donc pour équation $ y=x $ et l'abscisse de $ M $ est égale à son ordonnée.

    Par conséquent :

  2. $ HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance verticale de $ H $ à $ M $),
  3. $ OH=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance horizontale de $ O $ à $ H $),

  4. $ OH=HM $.

    Le triangle $ OHM $ possède un angle droit en $ H $ (projeté orthogonal) et deux côtés $ OH $ et $ HM $ égaux : il est rectangle isocèle en $ H $.

  5. Puisque $ OH=HM $, on a directement :

    $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=OH=HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

  6. On utilise le prérequis 1. avec $ x=\dfrac{\pi}{4} $ :

    $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

    Comme les deux termes sont égaux :

    $ 2\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

    $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2} $

    Or $ M $ se trouve dans le premier quadrant, donc $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0 $. On en déduit :

    $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

    Et donc : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

Partie B

  1. Par définition du cercle trigonométrique, $ OM=OI=1 $ (rayon du cercle). L'angle $ \widehat{MOI} $ est l'angle orienté associé au réel $ \dfrac{\pi}{3} $, il mesure donc $ \dfrac{\pi}{3} $ radians, ce qui correspond à $ 60° $ (puisque $ \pi $ radians $ =180° $).

  2. Le triangle $ OIM $ est isocèle en $ O $ (car $ OM=OI $). Ses angles à la base $ \widehat{OIM} $ et $ \widehat{OMI} $ sont donc égaux. Comme la somme des trois angles d'un triangle vaut $ \pi $, chacun de ces angles vaut $ \dfrac{\pi-\pi/3}{2}=\dfrac{\pi}{3} $.

    Les trois angles du triangle $ OIM $ valent donc $ \dfrac{\pi}{3} $ : le triangle $ OIM $ est équilatéral.

  3. $ H $ est le pied de la hauteur issue de $ M $ dans le triangle $ OIM $. Comme $ OIM $ est équilatéral, cette hauteur est aussi médiane relative au côté $ [OI] $ : $ H $ est le milieu de $ [OI] $.

    On en déduit : $ OH=\dfrac{OI}{2}=\dfrac{1}{2} $.

  4. Par définition, l'abscisse de $ M $ est $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $. Comme $ H $ est le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses et que $ M $ est dans le premier quadrant, $ OH $ est égal à cette abscisse :

    $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=OH=\dfrac{1}{2} $

    Conclusion : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}$.

Partie C

  1. Avec le prérequis 1. appliqué à $ x=\dfrac{\pi}{3} $ :

    $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1 $

    Or, d'après la partie B, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $, donc $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{4} $. Par conséquent :

    $ \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} $

  2. $ \dfrac{\pi}{3} $ appartient à l'intervalle $ ]0\,;\pi[ $, donc le point $ M $ image de $ \dfrac{\pi}{3} $ se trouve au-dessus de l'axe des abscisses : son ordonnée est strictement positive.

    Donc $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0 $.

  3. On déduit des deux questions précédentes :

    $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

    Conclusion : $\mathbf{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.