Solides et repérage (prismes, cylindres)
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Repérage sur une droite graduée
Droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
- une origine (le point correspondant à $ 0 $),
- un sens (indiqué par une flèche),
- une unité de longueur (reportée régulièrement).
Chaque point de la droite est repéré par un unique nombre appelé son abscisse.
Exemple
Sur la droite graduée ci-dessus :
- Le point $ A $ a pour abscisse $ -3 $. On note $ A(-3) $.
- Le point $ O $ a pour abscisse $ 0 $ : c'est l'origine.
- Le point $ B $ a pour abscisse $ 2{,}5 $. On note $ B(2{,}5) $.
Remarque
Une demi-droite graduée ne contient que des abscisses positives (à partir de l'origine). Une droite graduée contient aussi des abscisses négatives.
Distance entre deux points
Sur une droite graduée, la distance entre deux points est toujours un nombre positif. Pour la calculer, on retranche la plus petite abscisse à la plus grande.
Exemple
On considère les points $ A(-3) $ et $ B(2{,}5) $.
La plus grande abscisse est $ 2{,}5 $, la plus petite est $ -3 $.
La distance $ AB $ est :
Attention
Ne pas confondre l'abscisse d'un point (un nombre qui peut être négatif) et la distance entre deux points (toujours positive).
2 - Repérage dans le plan
Repère du plan
Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en un point $ O $ appelé origine du repère.
- L'axe horizontal est l'axe des abscisses.
- L'axe vertical est l'axe des ordonnées.
Coordonnées d'un point
Dans un repère, chaque point $ M $ est repéré par un couple de nombres $ (x\,;\,y) $ appelé ses coordonnées :
- $ x $ est l'abscisse de $ M $ (lue sur l'axe horizontal),
- $ y $ est l'ordonnée de $ M $ (lue sur l'axe vertical).
On note $ M(x\,;\,y) $.
Exemple
Sur le repère ci-dessus, le point $ M $ a pour abscisse $ 3 $ et pour ordonnée $ 2 $. On écrit $ M(3\,;\,2) $.
Remarque
L'ordre est important dans un couple de coordonnées : le premier nombre est l'abscisse, le second est l'ordonnée. Le point $ (3\,;\,2) $ n'est pas le même que le point $ (2\,;\,3) $.
Coordonnées de l'origine et des axes
- L'origine $ O $ a pour coordonnées $ (0\,;\,0) $.
- Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée égale à $ 0 $.
- Un point de l'axe des ordonnées a une abscisse égale à $ 0 $.
Exemple
Le point $ P(-2\,;\,0) $ est sur l'axe des abscisses.
Le point $ Q(0\,;\,3) $ est sur l'axe des ordonnées.
Le point $ R(-4\,;\,-1) $ a une abscisse négative et une ordonnée négative : il se situe en bas à gauche de l'origine.
3 - Prisme droit
Prisme droit
Un prisme droit est un solide formé de :
- deux faces parallèles et superposables appelées bases (ce sont des polygones identiques),
- des faces latérales qui sont des rectangles perpendiculaires aux bases.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases.
Remarque
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) et le cube sont des cas particuliers de prismes droits : les bases sont des rectangles (ou des carrés pour le cube).
Patron d'un prisme droit
Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage, permet de reconstituer le solide. Le patron d'un prisme droit est formé :
- des deux bases (polygones identiques),
- d'un rectangle correspondant aux faces latérales mises bout à bout : sa longueur est le périmètre de la base et sa largeur est la hauteur du prisme.
Exemple
On veut construire le patron d'un prisme droit de hauteur $ 4 $ cm dont la base est un triangle équilatéral de côté $ 3 $ cm.
- Chaque face latérale est un rectangle de $ 4 $ cm sur $ 3 $ cm.
- Il y a $ 3 $ faces latérales (autant que de côtés de la base).
- Les deux bases sont des triangles équilatéraux de côté $ 3 $ cm.
4 - Cylindre de révolution
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide formé de :
- deux disques parallèles et superposables appelés bases,
- une surface latérale qui, mise à plat, forme un rectangle.
On obtient un cylindre en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés : ce côté est l'axe du cylindre.
Patron d'un cylindre
Le patron d'un cylindre de révolution de rayon $ r $ et de hauteur $ h $ est formé :
- des deux disques de rayon $ r $ (les bases),
- d'un rectangle dont une dimension est $ h $ et l'autre est le périmètre du cercle de base : $ 2 \times \pi \times r $.
Exemple
Un cylindre a pour rayon $ r = 3 $ cm et pour hauteur $ h = 5 $ cm.
La longueur du rectangle du patron est :
Sa largeur est $ 5 $ cm.
Attention
Pour tracer le patron d'un cylindre, il faut connaître $ \pi $ avec précision : la longueur du rectangle $ 2\pi r $ n'est pas un nombre entier. On prend en général une valeur approchée à $ 0{,}1 $ cm près pour la construction.
5 - Volumes du prisme droit et du cylindre
Volume d'un prisme droit
Le volume d'un prisme droit est égal au produit de l'aire d'une base par la hauteur :
Exemple
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés $ 3 $ cm et $ 4 $ cm. Sa hauteur est $ h = 6 $ cm.
Aire de la base : $ \mathcal{A} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6 $ cm².
Volume : $ V = 6 \times 6 = 36 $ cm³.
Volume d'un cylindre de révolution
Le volume d'un cylindre de révolution de rayon de base $ r $ et de hauteur $ h $ est :
Exemple
Un cylindre a pour rayon $ r = 2 $ cm et pour hauteur $ h = 5 $ cm.
$ V = \pi \times 2^2 \times 5 = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi $ cm³
$ V \approx 20 \times 3{,}14 = 62{,}8 $ cm³
Remarque
Le cylindre est en fait un cas particulier où la base est un disque. La formule $ V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h $ s'applique toujours : pour un disque de rayon $ r $, l'aire vaut $ \pi \times r^2 $.
6 - Perspective cavalière
Perspective cavalière
La perspective cavalière est une manière de dessiner un solide à plat sur une feuille. Elle respecte trois règles :
- les faces situées dans le plan de face sont dessinées en vraie grandeur,
- les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin,
- les arêtes cachées (invisibles derrière le solide) sont dessinées en pointillés.
Les arêtes qui fuient vers l'arrière sont dessinées avec une longueur réduite et inclinées d'un angle choisi (souvent $ 30° $ ou $ 45° $).
Exemple
Sur le pavé droit ci-dessus :
- La face $ ABCD $ est représentée en vraie grandeur (c'est la face de devant).
- Le sommet $ E $ est le seul sommet caché (il est situé à l'arrière) : les trois arêtes issues de lui, $ [EA] $, $ [EF] $ et $ [EH] $, sont dessinées en pointillés.
- Les arêtes parallèles dans la réalité (comme $ [AB] $, $ [DC] $, $ [EF] $ et $ [HG] $) restent parallèles sur le dessin.
Attention
En perspective cavalière, les angles droits de la réalité ne sont pas forcément représentés par des angles droits sur le dessin : c'est normal. De même, les longueurs des arêtes fuyantes ne sont pas en vraie grandeur.
Les questions essentielles
1. Comment placer un point sur une droite graduée ?
On repère l'origine $ 0 $ puis on compte les unités en suivant le sens de la flèche (vers la droite pour les abscisses positives, vers la gauche pour les négatives).
Voir la fiche méthode : Placer et lire un point sur une droite graduée
2. Comment lire ou placer les coordonnées d'un point dans un repère ?
On lit d'abord l'abscisse (axe horizontal) puis l'ordonnée (axe vertical). Pour placer un point de coordonnées $ (x\,;\,y) $, on avance de $ x $ sur l'axe horizontal puis de $ y $ sur l'axe vertical.
Voir la fiche méthode : Repérer un point dans le plan
3. Comment décrire un prisme droit ?
On indique la forme de sa base (polygone) et sa hauteur, puis on compte ses faces, ses arêtes et ses sommets en s'appuyant sur la forme de la base.
Voir la fiche méthode : Décrire un prisme droit
4. Comment construire le patron d'un prisme droit ?
On dessine les deux bases identiques et un rectangle dont la longueur est le périmètre de la base et la largeur la hauteur du prisme, éventuellement découpé en autant de rectangles qu'il y a de côtés.
Voir la fiche méthode : Construire le patron d'un prisme droit
5. Comment construire le patron d'un cylindre ?
On dessine les deux disques de base (rayon $ r $) et un rectangle de longueur $ 2\pi r $ et de largeur $ h $.
Voir la fiche méthode : Construire le patron d'un cylindre de révolution
6. Comment représenter un solide en perspective cavalière ?
On trace la face avant en vraie grandeur, on reporte les arêtes fuyantes parallèles avec une longueur réduite et un angle constant, puis on dessine les arêtes cachées en pointillés.
Voir la fiche méthode : Dessiner un solide en perspective cavalière