Grandeurs : périmètres, aires, volumes
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1 - Périmètres
Périmètre
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour.
Périmètre d'un polygone
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
Exemple
Un triangle a des côtés de $ 3 $ cm, $ 4 $ cm et $ 5 $ cm.
Son périmètre est : $ \mathcal{P} = 3 + 4 + 5 = 12 $ cm.
Formules de périmètres
Rectangle de longueur $ L $ et de largeur $ \ell $ :
Carré de côté $ c $ :
Exemple
Un rectangle a pour longueur $ L = 7 $ cm et pour largeur $ \ell = 3 $ cm.
$ \mathcal{P} = 2 \times (7 + 3) = 2 \times 10 = 20 $ cm
Le nombre π
Le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre est le même pour tous les cercles. Ce nombre est noté $ \pi $ (« pi »).
$ \pi \approx 3{,}14 $
Périmètre du cercle
Le périmètre (ou circonférence) d'un cercle de rayon $ r $ et de diamètre $ d = 2r $ est :
Exemple
Un cercle a un rayon $ r = 5 $ cm.
$ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi $
$ \mathcal{P} \approx 10 \times 3{,}14 = 31{,}4 $ cm
Attention
Ne pas confondre rayon et diamètre. Le diamètre est le double du rayon : $ d = 2r $. Si l'énoncé donne le diamètre, utiliser directement la formule $ \mathcal{P} = \pi \times d $.
2 - Aires
Aire
L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle occupe. L'unité d'aire de référence est le mètre carré (m²), qui correspond à l'aire d'un carré de $ 1 $ m de côté.
Aires du rectangle et du carré
Rectangle de longueur $ L $ et de largeur $ \ell $ :
Carré de côté $ c $ :
Exemple
Un rectangle a pour longueur $ 8 $ cm et pour largeur $ 5 $ cm.
$ \mathcal{A} = 8 \times 5 = 40 $ cm²
Aire du triangle
L'aire d'un triangle de base $ b $ et de hauteur relative $ h $ est :
Exemple
Un triangle a une base $ b = 6 $ cm et une hauteur relative $ h = 4 $ cm.
$ \mathcal{A} = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 $ cm²
Aire du parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme de base $ b $ et de hauteur $ h $ est :
Exemple
Un parallélogramme a une base $ b = 9 $ cm et une hauteur $ h = 5 $ cm.
$ \mathcal{A} = 9 \times 5 = 45 $ cm²
Aire du disque
L'aire d'un disque de rayon $ r $ est :
Exemple
Un disque a un rayon $ r = 3 $ cm.
$ \mathcal{A} = \pi \times 3^2 = 9\pi $
$ \mathcal{A} \approx 9 \times 3{,}14 = 28{,}26 $ cm²
Remarque
La hauteur d'un triangle ou d'un parallélogramme est toujours perpendiculaire à la base. Elle ne correspond pas forcément à un côté de la figure.
Attention
- Pour le triangle, ne pas oublier de diviser par $ 2 $.
- Pour le disque, le rayon est au carré : l'aire d'un disque de rayon $ 3 $ est $ 9\pi $ (et non $ 3\pi $).
3 - Volumes
Volume
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. L'unité de volume de référence est le mètre cube (m³), qui correspond au volume d'un cube de $ 1 $ m d'arête.
Volume du cube et du pavé droit
Cube d'arête $ c $ :
Pavé droit (parallélépipède rectangle) de longueur $ L $, largeur $ \ell $ et hauteur $ h $ :
Exemple
Un pavé droit a pour dimensions $ L = 5 $ cm, $ \ell = 3 $ cm et $ h = 4 $ cm.
$ V = 5 \times 3 \times 4 = 60 $ cm³
Volume du prisme droit
Le volume d'un prisme droit est :
où $ h $ est la hauteur du prisme (distance entre les deux bases).
Exemple
Un prisme droit a pour base un triangle de base $ 6 $ cm et de hauteur $ 4 $ cm. La hauteur du prisme est $ h = 10 $ cm.
Aire de la base : $ \mathcal{A} = \dfrac{6 \times 4}{2} = 12 $ cm²
Volume : $ V = 12 \times 10 = 120 $ cm³
Volume du cylindre de révolution
Le volume d'un cylindre de révolution de rayon de base $ r $ et de hauteur $ h $ est :
Exemple
Un cylindre a un rayon de base $ r = 4 $ cm et une hauteur $ h = 10 $ cm.
$ V = \pi \times 4^2 \times 10 = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi $
$ V \approx 160 \times 3{,}14 = 502{,}4 $ cm³
Remarque
Le volume du cylindre est un cas particulier de la formule du prisme droit : la base est un disque d'aire $ \pi r^2 $.
Attention
Pour le cylindre, vérifier que l'énoncé donne bien le rayon et non le diamètre. Si le diamètre $ d $ est donné, calculer d'abord $ r = \dfrac{d}{2} $.
4 - Conversions d'unités
Unités de longueur
Les unités de longueur sont : km, hm, dam, m, dm, cm, mm.
Chaque unité est $ 10 $ fois plus grande que la suivante. On utilise un tableau de conversion avec une colonne par unité.
Exemple
$ 3{,}45 $ m $ = 345 $ cm (on décale la virgule de $ 2 $ rangs vers la droite).
$ 1{,}2 $ km $ = 1\,200 $ m (on décale la virgule de $ 3 $ rangs vers la droite).
Unités d'aire
Les unités d'aire sont : km², hm², dam², m², dm², cm², mm².
Chaque unité est $ 100 $ fois plus grande que la suivante. Dans le tableau de conversion, chaque unité occupe deux colonnes.
Exemple
$ 0{,}5 $ m² $ = 5\,000 $ cm²
En effet : de m² à cm², il y a deux rangs, soit $ 2 \times 2 = 4 $ colonnes dans le tableau. On décale la virgule de $ 4 $ rangs vers la droite.
Unités de volume et contenances
Les unités de volume sont : km³, hm³, dam³, m³, dm³, cm³, mm³.
Chaque unité est $ 1\,000 $ fois plus grande que la suivante. Dans le tableau de conversion, chaque unité occupe trois colonnes.
La correspondance avec les contenances est :
Donc $ 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L} $ et $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $.
Exemple
$ 3{,}5 \text{ m}^3 = 3{,}5 \times 1\,000 = 3\,500 \text{ dm}^3 = 3\,500 \text{ L} $
$ 750 \text{ cm}^3 = 750 \text{ mL} = 0{,}75 \text{ L} $
Attention
Le nombre de colonnes dans le tableau de conversion dépend de la grandeur :
- Longueurs : $\mathbf{1}$ colonne par unité (facteur $ 10 $)
- Aires : $\mathbf{2}$ colonnes par unité (facteur $ 100 $)
- Volumes : $\mathbf{3}$ colonnes par unité (facteur $ 1\,000 $)
5 - Durées
Unités de durée
Les conversions de durées ne suivent pas le système décimal :
- $ 1 $ minute $ = 60 $ secondes
- $ 1 $ heure $ = 60 $ minutes $ = 3\,600 $ secondes
- $ 1 $ jour $ = 24 $ heures
Exemple
Convertir $ 2 $ h $ 45 $ min en minutes.
$ 2 \text{ h} = 2 \times 60 = 120 $ min
Donc $ 2 $ h $ 45 $ min $ = 120 + 45 = 165 $ min.
Exemple
Convertir $ 245 $ minutes en heures et minutes.
On effectue la division euclidienne de $ 245 $ par $ 60 $ :
$ 245 = 4 \times 60 + 5 $
Donc $ 245 $ min $ = 4 $ h $ 5 $ min.
Attention
Les durées sont en base $ 60 $, pas en base $ 10 $. Par exemple, $ 2{,}5 $ h ne signifie pas $ 2 $ h $ 50 $ min mais $ 2 $ h $ 30 $ min (car $ 0{,}5 \times 60 = 30 $).
Les questions essentielles
1. Comment calculer le périmètre d'un cercle ?
On utilise la formule $ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times r $ (ou $ \mathcal{P} = \pi \times d $ si le diamètre est donné). Si l'énoncé donne le diamètre, penser à calculer le rayon en divisant par $ 2 $.
Voir la fiche méthode : Calculer le périmètre d'une figure
2. Comment calculer l'aire d'un triangle ?
On repère la base $ b $ et la hauteur $ h $ perpendiculaire à cette base, puis on applique $ \mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2} $. La hauteur ne correspond pas forcément à un côté du triangle.
Voir la fiche méthode : Calculer l'aire d'une figure
3. Comment calculer le volume d'un cylindre ?
On calcule d'abord l'aire de la base circulaire ($ \pi r^2 $), puis on multiplie par la hauteur $ h $ du cylindre : $ V = \pi \times r^2 \times h $.
Voir la fiche méthode : Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre
4. Comment convertir des unités d'aire ou de volume ?
On utilise un tableau de conversion avec $ 2 $ colonnes par unité pour les aires (facteur $ 100 $) et $ 3 $ colonnes par unité pour les volumes (facteur $ 1\,000 $). Retenir aussi : $ 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L} $.
Voir la fiche méthode : Convertir des unités d'aire et de volume
5. Comment convertir des durées ?
Les durées sont en base $ 60 $. Pour convertir en minutes, on multiplie les heures par $ 60 $. Pour le sens inverse, on effectue la division euclidienne par $ 60 $ : le quotient donne les heures et le reste les minutes.
Voir la fiche méthode : Convertir des durées