Primitives, intégrales, équations différentielles
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1. Primitives d'une fonction
Définition
Soit $ f $ une fonction définie sur $ I $.
On dit que $ F $ est une primitive de $ f $ sur l'intervalle $ I $, si et seulement si $ F $ est dérivable sur $ I $ et pour tout $ x $ de $ I $, $ F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right) $.
Exemple
La fonction $ F: ~x\mapsto x^{2} $ est une primitive de la fonction $ f:~x\mapsto 2x $ sur $ \mathbb{R} $.
La fonction $ G: ~x\mapsto x^{2}+1 $ est aussi une primitive de cette même fonction $ f $.
Propriété
Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ I $, alors les autres primitives de $ f $ sur $ I $ sont les fonctions de la forme $ F+k $ où $ k\in \mathbb{R}. $
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $ f $ mais une primitive de $ f $.
Exemple
Les primitives de la fonction $ f:~x\mapsto 2x $ sont les fonctions $ F:~ x\mapsto x^{2}+k $ où $ k\in \mathbb{R}. $
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle $ I $ admet des primitives sur $ I $.
Propriété
Primitives des fonctions usuelles :
| Fonction $f$ | Primitives $F$ | Ensemble de validité |
| $0$ | $k$ | $\mathbb{R}$ |
| $a$ | $ax+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$ | $- \dfrac{1}{\left(n - 1\right)x^{n - 1}}+k$ | $\left]0;+\infty\right[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x+k$ | $\left]0;+\infty\right[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+k$ | $\left]0;+\infty\right[$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+k$ | $\mathbb{R}$ |
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions définies sur $ I $ et admettant respectivement $ F $ et $ G $ comme primitives sur $ I $ et $ k $ un réel quelconque.
- $ F+G $ est une primitive de la fonction $ f+g $ sur $ I $.
- $ kF $ est une primitive de la fonction $ kf $ sur $ I $.
Propriété
Primitives et fonctions composées
Soit $ u $ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $ I $.
| Fonction $f$ | Primitives $F$ | Condition |
| $u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+k$ | |
| $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ | $\ln u+k$ | si $u\left(x\right)>0$ |
| $\dfrac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$ | $- \dfrac{1}{\left(n - 1\right)u^{n - 1}}+k$ | si $u\left(x\right)\neq 0$ |
| $\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}+k$ | si $u\left(x\right)>0$ |
| $u^{\prime}e^{u}$ | $e^{u}+k$ | |
| $u^{\prime}\cos u$ | $\sin u+k$ | |
| $u^{\prime}\sin u$ | $-\cos u+k$ |
Exemple
La fonction $ x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+1} $ admet comme primitives les fonctions de la forme $ x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k $ sur tout intervalle de $ \mathbb{R} $ (forme $ \dfrac{u^{\prime}}{u} $).
2. Intégrales
Définition
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ \left[a;b\right] $ et $ F $ une primitive de $ f $ sur $ \left[a;b\right] $. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel noté $ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $ défini par :
$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right) - F\left(a\right) $.
Remarques
- L'intégrale ne dépend pas de la primitive de $ f $ choisie.
En effet si $ G $ est une autre primitive de $ f $, on a $ G=F+k $ donc :
$ G\left(b\right) - G\left(a\right)=F\left(b\right)+k - \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) - F\left(a\right) $ - Dans l'expression $ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $, $ x $ est une variable « muette ». C'est à dire que l'on ne change pas l'expression si on remplace $ x $ par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre $ t $ notamment lorsque la lettre $ x $ est employée par ailleurs.
Notations
On note souvent : $ F\left(b\right) - F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b} $.
On a avec cette notation :
$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b} $.
Exemple
La fonction $ F $ définie par $ F\left(x\right)=\dfrac{x^{3}}{3} $ est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
$ \int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} - \dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{3} $.
Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ I $ et $ a \in I $; la fonction définie sur $ I $ par :
est la primitive de $ f $ qui s'annule pour $ x=a $.
Démonstration
Soit $ F $ une primitive (quelconque) de $ f $. Posons $ \Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t $
$ \Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right) - F\left(a\right) $
donc :
$ \Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right) $.
Ce qui prouve que $ \Phi $ est aussi une primitive de $ f $.
De plus $ \Phi \left(a\right)=F\left(a\right) - F\left(a\right)=0 $.
Remarque
Notez bien la position du $ x $ en borne supérieure de l'intégrale.
Exemple
La fonction définie sur $ \left[0 ; +\infty \right[ $ $ x\mapsto \int_{1}^{ x}\dfrac{1}{t}\text{d}t $ (on peut aussi écrire $ \int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t} $) est la primitive de la fonction inverse qui s'annule pour $ x=1 $. C'est donc la fonction logarithme népérien :
$ \ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t}. $
Propriété
Relation de Chasles
Soit $ f $ une fonction continue sur $ \left[a;b\right] $ et $ c\in \left[a;b\right] $.
$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $.
Propriété
Linéarité de l'intégrale
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ \left[a;b\right] $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
- $ \int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x $
- $ \int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $.
Propriété
Comparaison d'intégrales
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ \left[a;b\right] $ telles que $ f\geqslant g $ sur $ \left[a;b\right] $.
$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x $.
Remarque
En particulier, en prenant pour $ g $ la fonction nulle on obtient si $ f\left(x\right)\geqslant 0 $ sur $ \left[a;b\right] $:
3. Interprétation graphique
Définition
Le plan $ P $ est rapporté à un repère orthogonal $ \left(O,\vec{i},\vec{j}\right) $.
On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent $ ||\vec{i}|| $ et $ ||\vec{j}|| $.
Unité d'aire dans le cas d'un repère orthonormé
Propriété
Si $ f $ est une fonction continue et positive sur $ \left[a;b\right] $, alors l'intégrale $ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $ est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :
- la courbe $ C_{f} $,
- l'axe des abscisses,
- les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $.
Exemple
L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à $ \int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x $.
Remarques
- Si $ f $ est négative sur $ \left[a;b\right] $, la propriété précédente appliquée à la fonction $ -f $ montre que $ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x $ est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe $ C_{f} $, l'axe des abscisses, les droites d'équations $ x=a $ et $ x=b $.
- Si le signe de $ f $ varie sur $ \left[a;b\right] $, on découpe $ \left[a;b\right] $ en sous-intervalles sur lesquels $ f $ garde un signe constant.
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont des fonctions continues et telles que $ f\leqslant g $ sur $ \left[a;b\right] $, alors l'aire de la surface délimitée par :
- la courbe $ C_{f} $,
- la courbe $ C_{g} $,
- les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $.
est égale (en unités d'aire) à :
$ A=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x $.
Exemple
$ f $ et $ g $ définies par $ f\left(x\right)=x^{2} - x $ et $ g\left(x\right)=3x - x^{2} $ sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :
$ A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x - 2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2} - \dfrac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3} \text{u.a.} $
4. Intégration par parties
Intégration par parties
Soit $ u $ et $ v $ deux fonctions dérivables sur $ \left[a;b\right] $ dont les dérivées sont continues.
Exemple
Calculer $ I=\int_{0}^{1}xe^{x}\text{d}x $.
On pose $ v\left(x\right)=x $ et $ u^{\prime}\left(x\right)=e^{x} $, ce qui donne $ v^{\prime}\left(x\right)=1 $ et $ u\left(x\right)=e^{x} $.
La formule d'intégration par parties donne :
$ I=\left[xe^{x}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^{x}\text{d}x=e - \left[e^{x}\right]_{0}^{1}=e - \left(e - 1\right) $ = $\mathbf{1}$.
Exemple
Calculer $ J=\int_{1}^{e}\ln x\text{d}x $.
On écrit $ \ln x=1\times \ln x $ et on pose $ u^{\prime}\left(x\right)=1 $ et $ v\left(x\right)=\ln x $, ce qui donne $ u\left(x\right)=x $ et $ v^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x} $.
$ J=\left[x\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}x\times \dfrac{1}{x}\text{d}x=e\ln e - 1\times \ln 1 - \int_{1}^{e}1\text{d}x=e - \left[x\right]_{1}^{e}=e - \left(e - 1\right) $ = $\mathbf{1}$.
5. Valeur moyenne d'une fonction
Définition
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ \left[a;b\right] $ avec $ a\neq b $. On appelle valeur moyenne de $ f $ sur $ \left[a;b\right] $ le nombre réel :
Remarque
Graphiquement, la valeur moyenne $ \mu $ est la hauteur du rectangle de base $ \left[a;b\right] $ ayant la même aire que la surface délimitée par la courbe de $ f $, l'axe des abscisses et les droites $ x=a $, $ x=b $.
Exemple
Calculer la valeur moyenne de la fonction $ f:x\mapsto x^{2} $ sur $ \left[0;3\right] $.
$ \mu =\dfrac{1}{3 - 0}\int_{0}^{3}x^{2}\text{d}x=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{27}{3}=\dfrac{1}{3}\times 9 $ = $\mathbf{3}$.
6. Équation différentielle
Définition
Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l'ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l'égalité pour tout $ x\in I $
Notations
Attention aux notations :
Dans une équation différentielle, l'usage est de noter $ y $ pour $ f\left(x\right) $, $ y^{\prime} $ pour $ f^{\prime}\left(x\right) $ etc.
L'équation différentielle $ f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x $ s'écrira par exemple $ y^{\prime}=y+x $.
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions !
Exemple
La fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x) = x^2 $ est une solution, sur $ \mathbb{R} $, de l'équation différentielle : $ 2y=xy^{\prime} $.
En effet : $ f\left(x\right)=x^{2} $ et $ f^{\prime}\left(x\right)=2x $ donc $ 2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right) $
Théorème
Les solutions, sur $ \mathbb{R} $, de l'équation différentielle $ y^{\prime}=ay $ (où $ a\in \mathbb{R} $) sont les fonctions définies par $ f\left(x\right)=Ke^{ax} $ où $ K $ est un réel quelconque.
Démonstration
Soit une fonction f définie par $ f\left(x\right)=Ke^{ax} $ où $ K $ est un réel quelconque.
$ f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax} $ donc $ f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) $ et f est bien solution de l'équation différentielle $ y^{\prime}=ay $
Réciproquement, soit $ f $ une solution de l'équation différentielle $ y^{\prime}=ay $.
On a $ f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) $ pour tout $ x\in \mathbb{R} $.
Posons $ g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{ - ax} $. $ g $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :
$ g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{ - ax} - af\left(x\right)e^{ - ax} =\left(f^{\prime}\left(x\right) - af\left(x\right)\right)e^{ - ax}=0 $.
$ g $ est donc une fonction constante : $ g\left(x\right)=K $.
Donc $ f\left(x\right)e^{ - ax}=K $, c'est à dire en multipliant chaque membre par $ e^{ax} $: $ f\left(x\right)=Ke^{ax} $
Théorème
Les solutions, sur $ \mathbb{R} $, de l'équation différentielle $ y^{\prime}=ay+b $ ( où $ a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} $ et $ b\in \mathbb{R} $) sont les fonctions définies par $ f\left(x\right)=Ke^{ax} - \dfrac{b}{a} $ où $ K $ est un réel quelconque.
Théorème
Soit $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ un couple de réels.
Il existe une unique fonction $ f $ solution sur $ \mathbb{R} $ de l'équation différentielle $ y^{\prime}=ay+b $ ( où $ a\in \mathbb{R} $ et $ b\in \mathbb{R} $) vérifiant la condition $ f\left(x_{0}\right)=y_{0} $
Remarque
La condition $ f\left(x_{0}\right)=y_{0} $ est souvent appelée condition initiale.
Les questions essentielles
1. Comment déterminer les primitives d'une fonction ?
Il faut identifier la forme de la fonction (usuelle ou composée), repérer la ligne correspondante dans le tableau des primitives, puis écrire la primitive en n'oubliant pas la constante $ +k $.
Voir la fiche méthode : Déterminer les primitives d'une fonction
2. Comment calculer une intégrale ?
On détermine une primitive $ F $ de $ f $, puis on applique la formule $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x = F(b) - F(a) $. La relation de Chasles et la linéarité permettent de découper ou simplifier les calculs.
Voir la fiche méthode : Calculer une intégrale
3. Comment calculer une intégrale par parties ?
On choisit $ u' $ et $ v $ dans le produit à intégrer de sorte que la nouvelle intégrale soit plus simple. On applique la formule $ \int u'v = [uv] - \int uv' $. L'astuce pour $ \ln x $ est d'écrire $ \ln x = 1 \times \ln x $.
Voir la fiche méthode : Calculer une intégrale par parties
4. Comment calculer une aire à l'aide d'une intégrale ?
Si $ f $ est positive sur $ [a\,;b] $, l'aire sous la courbe est $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $. Pour l'aire entre deux courbes $ f \leqslant g $, on calcule $ \int_{a}^{b} (g(x) - f(x))\,\text{d}x $. Si $ f $ change de signe, on découpe l'intervalle.
Voir la fiche méthode : Calculer une aire à l'aide d'une intégrale
5. Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?
On applique la formule $ \mu = \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $ : on calcule d'abord l'intégrale, puis on divise par la longueur de l'intervalle.
Voir la fiche méthode : Calculer la valeur moyenne d'une fonction
6. Comment résoudre une équation différentielle y'=ay+b ?
Les solutions sont de la forme $ f(x) = Ke^{ax} - \dfrac{b}{a} $. Si une condition initiale est donnée, on remplace pour trouver la valeur de $ K $ et obtenir l'unique solution particulière.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation différentielle y'=ay+b