Calculer une aire à l’aide d’une intégrale
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Étape 1 : Identifier la situation :
- Cas 1 : Aire entre la courbe de $ f $ et l'axe des abscisses, entre $ x = a $ et $ x = b $.
- Cas 2 : Aire entre deux courbes $ C_f $ et $ C_g $, entre $ x = a $ et $ x = b $.
- Étape 2 : Déterminer le signe de la fonction (ou la position relative des deux courbes) sur $ [a\,;b] $.
Étape 3 : Appliquer la formule adaptée :
- Cas 1 : Si $ f \geqslant 0 $ sur $ [a\,;b] $ : $ A = \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $. Si $ f \leqslant 0 $ : $ A = -\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $.
- Cas 2 : Si $ g \geqslant f $ sur $ [a\,;b] $ : $ A = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x))\,\text{d}x $.
- Étape 4 : Calculer l'intégrale et exprimer le résultat en unités d'aire (u.a.).
Aire sous une courbe (fonction positive)
Calculer l'aire $ A $ de la surface comprise entre la courbe de $ f(x) = x^2 + 1 $, l'axe des abscisses, et les droites $ x = 0 $ et $ x = 2 $.
Étape 1 : On est dans le cas 1 : aire entre la courbe et l'axe des abscisses.
Étape 2 : Sur $ [0\,;2] $, $ f(x) = x^2 + 1 \geqslant 1 > 0 $, donc $ f $ est positive.
Étape 3 : On calcule :
$ A = \int_{0}^{2} (x^2 + 1)\,\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{2} $
$ A = \dfrac{8}{3} + 2 - 0 $ = $ \dfrac{14}{3} $ u.a.
Aire entre deux courbes
Calculer l'aire $ A $ comprise entre les courbes de $ f(x) = x^2 $ et $ g(x) = 2x $ sur $ [0\,;2] $.
Étape 1 : On est dans le cas 2 : aire entre deux courbes.
Étape 2 : On étudie le signe de $ g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2 - x) $.
Sur $ [0\,;2] $, $ x \geqslant 0 $ et $ 2 - x \geqslant 0 $, donc $ g(x) - f(x) \geqslant 0 $ : la courbe de $ g $ est au-dessus de celle de $ f $.
Étape 3 : On calcule :
$ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,\text{d}x = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} $
$ A = 4 - \dfrac{8}{3} - 0 $ = $ \dfrac{4}{3} $ u.a.
Remarque
Si $ f $ change de signe sur $ [a\,;b] $, on découpe l'intervalle aux zéros de $ f $ et on calcule l'aire sur chaque sous-intervalle séparément, en prenant la valeur absolue de chaque intégrale.
Attention
L'intégrale $ \int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x $ n'est pas toujours égale à l'aire. Si $ f $ est négative, l'intégrale est négative alors que l'aire est toujours positive. Il faut prendre l'opposé (ou la valeur absolue) dans ce cas.