Résoudre une équation différentielle y’=ay+b
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- Étape 1 : Identifier les coefficients $ a $ et $ b $ dans l'équation $ y' = ay + b $.
Étape 2 : Écrire la solution générale :
- Si $ b = 0 $ : les solutions sont $ f(x) = Ke^{ax} $ où $ K \in \mathbb{R} $.
- Si $ b \neq 0 $ : les solutions sont $ f(x) = Ke^{ax} - \dfrac{b}{a} $ où $ K \in \mathbb{R} $.
- Étape 3 : Si une condition initiale $ f(x_0) = y_0 $ est donnée, remplacer $ x $ par $ x_0 $ dans la solution générale et résoudre l'équation en $ K $.
- Étape 4 : Écrire la solution particulière avec la valeur de $ K $ trouvée.
Équation y'=ay (sans second membre)
Résoudre sur $ \mathbb{R} $ l'équation différentielle $ y' = -2y $ avec la condition initiale $ f(0) = 3 $.
Étape 1 : On identifie $ a = -2 $ et $ b = 0 $.
Étape 2 : La solution générale est :
$ f(x) = Ke^{-2x} $ où $ K \in \mathbb{R} $
Étape 3 : On utilise $ f(0) = 3 $ :
$ f(0) = Ke^{0} = K = 3 $
Étape 4 : La solution est :
Équation y'=ay+b (avec second membre)
Résoudre sur $ \mathbb{R} $ l'équation différentielle $ y' = 3y - 6 $ avec la condition initiale $ f(0) = 5 $.
Étape 1 : On identifie $ a = 3 $ et $ b = -6 $.
Étape 2 : La solution générale est :
$ f(x) = Ke^{3x} - \dfrac{-6}{3} = Ke^{3x} + 2 $ où $ K \in \mathbb{R} $
Étape 3 : On utilise $ f(0) = 5 $ :
$ f(0) = Ke^{0} + 2 = K + 2 = 5 $
donc $ K = 3 $.
Étape 4 : La solution est :
Remarque
La solution particulière $ -\dfrac{b}{a} $ est la solution constante de l'équation. En effet, si $ f(x) = -\dfrac{b}{a} $ pour tout $ x $, alors $ f'(x) = 0 $ et $ af(x) + b = a \times \left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = 0 $. Donc $ f'(x) = af(x) + b $.
Attention
- Bien repérer le signe de $ b $ : dans $ y' = 3y - 6 $, on a $ b = -6 $ (et non $ b = 6 $).
- La condition initiale donne une équation unique, qui permet de trouver une seule valeur de $ K $.