Calculer une intégrale par parties
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Créer un compteCalculer une intégrale par parties (IPP)
La formule d'intégration par parties s'écrit :
- Étape 1 : Identifier dans le produit $ f(x) = u'(x) \times v(x) $ quelle partie sera $ u' $ (celle qu'on sait primitiver facilement) et quelle partie sera $ v $ (celle qui se simplifie en dérivant).
- Étape 2 : Calculer $ u $ (primitive de $ u' $) et $ v' $ (dérivée de $ v $).
- Étape 3 : Appliquer la formule : calculer le terme tout intégré $ \left[uv\right]_{a}^{b} $, puis la nouvelle intégrale $ \int_{a}^{b} u\,v'\,\text{d}x $ (qui doit être plus simple que la première).
Règle de choix
En pratique, on choisit pour $ v $ la fonction qui se simplifie en dérivant :
- $ \ln x $ se dérive en $ \dfrac{1}{x} $ (simplifie le produit)
- $ x $ ou $ x^n $ se dérive en $ 1 $ ou $ nx^{n-1} $ (baisse le degré)
Et pour $ u' $ la fonction qu'on sait primitiver : $ e^x $, $ \cos x $, $ \sin x $, $ 1 $, etc.
Intégrale de xe^x
Calculer $ I = \int_{0}^{1} x\,e^x\,\text{d}x $.
Étape 1 : On pose :
$ u'(x) = e^x $ et $ v(x) = x $
Étape 2 : On en déduit :
$ u(x) = e^x $ et $ v'(x) = 1 $
Étape 3 : La formule d'IPP donne :
$ I = \left[x\,e^x\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \times 1\,\text{d}x $
$ I = (1 \times e^1 - 0 \times e^0) - \left[e^x\right]_{0}^{1} $
$ I = e - (e - 1) $ = $\mathbf{1}$
Intégrale de ln(x)
Calculer $ J = \int_{1}^{e} \ln x\,\text{d}x $.
Étape 1 : On écrit $ \ln x = 1 \times \ln x $ et on pose :
$ u'(x) = 1 $ et $ v(x) = \ln x $
Étape 2 : On en déduit :
$ u(x) = x $ et $ v'(x) = \dfrac{1}{x} $
Étape 3 : La formule d'IPP donne :
$ J = \left[x\,\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \times \dfrac{1}{x}\,\text{d}x $
$ J = (e \ln e - 1 \times \ln 1) - \int_{1}^{e} 1\,\text{d}x $
$ J = (e - 0) - \left[x\right]_{1}^{e} $
$ J = e - (e - 1) $ = $\mathbf{1}$
Attention
- Un mauvais choix de $ u' $ et $ v $ peut compliquer l'intégrale au lieu de la simplifier. Si la nouvelle intégrale est plus complexe, essayer l'autre répartition.
- Pour intégrer $ \ln x $, l'astuce est d'écrire $ \ln x = 1 \times \ln x $ afin de poser $ u'(x) = 1 $.