Fonctions carré et cube
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I. La fonction «carré »
Définition
La fonction « carré » est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto x^2$.
Sa courbe représentative est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété
La fonction carré est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0; \infty \right[$. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.
Propriété
La fonction carré est une fonction paire : pour tout réel $x$, $\left(-x\right)^2 = x^2$, c’est-à-dire $f\left(-x\right) = f\left(x\right)$.
C’est la traduction algébrique de la symétrie de la parabole par rapport à l’axe des ordonnées.
Tableau de variations de la fonction carrée
Démonstration
Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$.
Notons $f : x\mapsto x^2$ et soient $x_1$ et $x_2$, deux réels quelconques tels que $x_1 < x_2 < 0$.
Alors :
$f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right)=x_1^2 – x_2^2=\left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$
Or $x_1 – x_2 < 0$ car $x_1 < x_2$
et $x_1+x_2 < 0$ car $x_1$ et $x_2$ sont tous les deux négatifs.
Donc le produit $\left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$ est positif.
On en déduit $f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right) > 0$ donc $f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)$
$x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right) $, donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right[$.
Propriété
Soit $a$ un nombre réel. Dans $\mathbb{R}$, l’équation $x^2=a$
- n’admet aucune solution si $a < 0$
- admet $x=0$ comme unique solution si $a=0$
- admet deux solutions $\sqrt{a}$ et $ – \sqrt{a}$ si $a > 0$
Exemple
- L’équation $x^2=2$ admet deux solutions : $\sqrt{2}$ et $ – \sqrt{2}$.
- L’équation $x^2+1=0$ est équivalente à $x^2= – 1$. Elle n’admet donc aucune solution réelle.
II. La fonction «cube »
Définition
La fonction « cube » est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $x\mapsto x^3$.
Exemple
- $f\left(2\right)=2^3=8$
- $f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3=-8$
- $f\left(1{,}5\right)=\left(1{,}5\right)^3=3{,}375$
- $f\left(0\right)=0^3=0$
Propriété
La fonction cube est une fonction impaire : pour tout réel $x$, $\left(-x\right)^3=-x^3$.
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Remarque
Pour tout réel $x$, le nombre $x^3$ est du même signe que $x$ :
- si $x > 0$ alors $x^3 > 0$
- si $x < 0$ alors $x^3 < 0$
- si $x = 0$ alors $x^3 = 0$
Propriété
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Remarque
Pour une démonstration détaillée de cette propriété, voir l'exercice Démontrer que la fonction cube est croissante.
III. Position relative des courbes
Propriété
Pour tout $x > 0$, on compare $x$, $x^2$ et $x^3$ :
- si $x > 1$ : $x < x^2 < x^3$
- si $0 < x < 1$ : $x^3 < x^2 < x$
- si $x=0$ ou $x=1$ : $x = x^2 = x^3$
Démonstration
Soit $x > 0$. Comparons $x$ et $x^2$ :
$x^2 - x = x\left(x - 1\right)$
Comme $x > 0$, le signe de $x^2 - x$ est celui de $x - 1$.
- Si $x > 1$ : $x - 1 > 0$ donc $x^2 - x > 0$, d’où $x^2 > x$.
- Si $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$ donc $x^2 - x < 0$, d’où $x^2 < x$.
Comparons maintenant $x^2$ et $x^3$ :
$x^3 - x^2 = x^2\left(x - 1\right)$
Comme $x > 0$, on a $x^2 > 0$, et le signe de $x^3 - x^2$ est celui de $x - 1$.
- Si $x > 1$ : $x - 1 > 0$ donc $x^3 > x^2$.
- Si $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$ donc $x^3 < x^2$.
En combinant : pour $x > 1$, on a $x < x^2 < x^3$ et pour $0 < x < 1$, on a $x^3 < x^2 < x$.
Les questions essentielles
1. Comment résoudre une équation du type x² = a ?
On distingue trois cas selon le signe de $a$ : aucune solution si $a < 0$, une solution si $a = 0$, et deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation du type x² = a
2. Comment encadrer x² à partir d'un encadrement de x ?
On utilise les variations de la fonction carré en tenant compte du signe des bornes. Attention au cas où l'intervalle contient 0 : le minimum de $x^2$ est alors 0.
Voir la fiche méthode : Encadrer x² à partir d'un encadrement de x
3. Comment comparer des nombres avec la fonction carré ?
On élève les deux nombres au carré, puis on utilise la croissance (positifs) ou la décroissance (négatifs) de la fonction carré pour en déduire l'ordre.
Voir la fiche méthode : Comparer des nombres avec la fonction carré
4. Comment comparer des nombres avec la fonction cube ?
On élève les deux nombres au cube et on compare : la fonction cube étant croissante sur $\mathbb{R}$, l'ordre est toujours conservé.
Voir la fiche méthode : Comparer des nombres avec la fonction cube
5. Comment déterminer la position relative des courbes y = x, y = x² et y = x³ ?
On distingue deux cas pour $x > 0$ : si $x > 1$ alors $x < x^2 < x^3$, et si $0 < x < 1$ alors $x^3 < x^2 < x$. Les courbes se croisent en $x = 0$ et $x = 1$.
Voir la fiche méthode : Déterminer la position relative des courbes