Encadrer x² à partir d’un encadrement de x
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Pour encadrer $x^2$ sachant que $a \leqslant x \leqslant b$ :
- Étape 1 : Déterminer si l'intervalle $\left[a\,;\,b\right]$ contient 0.
- Étape 2 : Appliquer le bon cas :
- Si $0 \leqslant a \leqslant b$ (les deux bornes sont positives) : la fonction carré est croissante, donc $a^2 \leqslant x^2 \leqslant b^2$.
- Si $a \leqslant b \leqslant 0$ (les deux bornes sont négatives) : la fonction carré est décroissante, donc $b^2 \leqslant x^2 \leqslant a^2$.
- Si $a < 0 < b$ (l'intervalle contient 0) : le minimum de $x^2$ est $0$ et le maximum est $\max\left(a^2\,;\,b^2\right)$, donc $0 \leqslant x^2 \leqslant \max\left(a^2\,;\,b^2\right)$.
Intervalle de nombres positifs
On sait que $1 \leqslant x \leqslant 3$. Encadrer $x^2$.
Étape 1 : Les deux bornes sont positives ($1 > 0$ et $3 > 0$).
Étape 2 : La fonction carré est croissante sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$, donc on peut élever au carré en conservant l'ordre :
Ainsi $1 \leqslant x^2 \leqslant 9$.
Intervalle de nombres négatifs
On sait que $-5 \leqslant x \leqslant -2$. Encadrer $x^2$.
Étape 1 : Les deux bornes sont négatives ($-5 < 0$ et $-2 < 0$).
Étape 2 : La fonction carré est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$, donc l'ordre est inversé :
Ainsi $4 \leqslant x^2 \leqslant 25$.
Intervalle contenant 0
On sait que $-2 \leqslant x \leqslant 3$. Encadrer $x^2$.
Étape 1 : L'intervalle $\left[-2\,;\,3\right]$ contient 0.
Étape 2 : Le minimum de $x^2$ sur cet intervalle est $0$ (atteint en $x = 0$).
On compare les carrés des bornes : $\left(-2\right)^2 = 4$ et $3^2 = 9$. Le maximum est $9$.
Ainsi $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.
Attention
Quand l'intervalle contient 0, on ne peut pas simplement élever les bornes au carré. Par exemple, si $-2 \leqslant x \leqslant 3$, écrire « $4 \leqslant x^2 \leqslant 9$ » est faux car $x = 0$ donne $x^2 = 0$.