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Fonction carré et cube Exercices

Démontrer que la fonction cube est croissante

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

On note $f$ la fonction cube définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^3$.
On souhaite démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1 < x_2$.

  1. Montrer que $x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$.

  2. On pose $S = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$.

    1. Montrer que $S = \left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2$.
    2. En déduire que $S \geqslant 0$.
    3. Dans quel cas a-t-on $S = 0$ ?
  3. En déduire le signe de $x_1^3 - x_2^3$ et conclure.

Corrigé

  1. Développons le produit $\left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$ :
    $\left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$
    $= x_1^3 + x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 - x_2^3$
    $= x_1^3 - x_2^3$
    On a donc bien $\mathbf{x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)}$.
    1. Développons $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2$ :
      $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2 = x_1^2 + 2 \times x_1 \times \dfrac{x_2}{2} + \dfrac{x_2^2}{4} + \dfrac{3}{4}x_2^2$
      $= x_1^2 + x_1 x_2 + \dfrac{x_2^2}{4} + \dfrac{3 x_2^2}{4}$
      $= x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$
      On a donc bien $\mathbf{S = \left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2}$.
    2. L'expression $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2$ est un carré, donc elle est positive ou nulle. De même, $\dfrac{3}{4}x_2^2$ est positive ou nulle.
      La somme de deux quantités positives ou nulles est positive ou nulle, donc $\mathbf{S \geqslant 0}$.
    3. On a $S = 0$ si et seulement si les deux termes sont nuls simultanément :
      $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 = 0$ et $\dfrac{3}{4}x_2^2 = 0$
      La deuxième condition donne $x_2 = 0$, et en remplaçant dans la première : $x_1 = 0$.
      Donc $S = 0$ si et seulement si $x_1 = 0$ et $x_2 = 0$.

  3. D'après la question 1 : $x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right) \times S$.
    Déterminons le signe de chaque facteur :

    • $x_1 - x_2 < 0$ car $x_1 < x_2$
    • $S \geqslant 0$ d'après la question 2b. De plus, comme $x_1 < x_2$, ils ne peuvent pas être tous les deux nuls (sinon $x_1 = x_2 = 0$), donc $S > 0$ d'après la question 2c.

    Le produit d'un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif est strictement négatif :
    $x_1^3 - x_2^3 < 0$, c'est-à-dire $x_1^3 < x_2^3$, donc $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.
    On a montré que pour tous réels $x_1 < x_2$, on a $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.
    La fonction cube est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.