Comparer des nombres avec la fonction cube
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Pour comparer deux nombres $a$ et $b$ à l'aide de la fonction cube :
- Étape 1 : Calculer $a^3$ et $b^3$.
- Étape 2 : Comparer les cubes et conclure : la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $a < b \Leftrightarrow a^3 < b^3$ (l'ordre est toujours conservé).
Comparer avec des cubes connus
Comparer $\sqrt[3]{5}$ et $2$.
Étape 1 : On calcule les cubes :
Étape 2 : Comme $5 < 8$ et que la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, on en déduit :
Comparer des nombres négatifs
Comparer $-3$ et $-2$.
Étape 1 : On calcule les cubes :
Étape 2 : Comme $-27 < -8$ et que la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, on en déduit :
On retrouve bien l'ordre de départ : contrairement à la fonction carré, la fonction cube conserve toujours l'ordre, même pour les nombres négatifs.
Remarque
La fonction cube est plus simple à utiliser que la fonction carré pour comparer des nombres, car elle est croissante sur $\mathbb{R}$ entier : il n'y a pas de changement de sens d'inégalité à gérer.
Attention
Ne pas confondre les propriétés de la fonction carré et de la fonction cube :
- La fonction carré inverse l'ordre pour les négatifs.
- La fonction cube conserve toujours l'ordre.